【題目】如圖,已知四邊形ABCD是矩形,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F,連結(jié)CF,使得CF=AF,過點(diǎn)A作AE⊥FC于點(diǎn)E.
(1)求證:AD=AE.
(2)連結(jié)CA,若∠DCA=70°,求∠CAE的度數(shù).
【答案】
(1)證明:連接AC,如圖所示:
∵CF=AF,∴∠FCA=∠CAF,
∵四邊形ABCD是矩形,∴DC∥AB∴,∠DCA=∠CAF,
∴∠FCA=∠DCA,
∵AE⊥FC,
∴∠CEA=90°,
∴∠CDA=∠CEA=90°,
在△ADC和△CAE 中, ,
∴△ADC≌△CAE (AAS),
∴AD=AE;
(2)解:∵△ADC≌△CAE,
∴∠CAE=∠CAD,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,
∴∠CAD=90°﹣∠DCA=90°﹣70°=20°,
∴∠CAE=20°.
【解析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)證出∠FCA=∠DCA,由AAS證明△ADC≌△CAE,即可得出結(jié)論;(2)由全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠CAD,求出∠CAD=90°﹣∠DCA=20°,即可得出答案.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成下面的證明:
如圖,已知,,可推得.
理由如下:∵(已知),
且( )
∴(等量代換)
∴________∥________( )
∴∠________( )
又∵(已知)
∴( )
∴( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=BC=5,AC=8,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC,連接BD,則BD的長(zhǎng)度為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線上有,兩點(diǎn),,是線段上的一點(diǎn),.
(1) , ;
(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且滿足,求的長(zhǎng);
(3)若動(dòng)點(diǎn),分別從點(diǎn),同時(shí)出發(fā),向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)的速度為,點(diǎn)的速度為.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),,兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).
①當(dāng)為何值時(shí),?
②當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度也向右運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)后立即返回,以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),遇到點(diǎn)后再立即返回,以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),如此往返.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),,兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),此時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).在此過程中,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)要求進(jìn)行計(jì)算:
(1)計(jì)算: +(﹣2017)0﹣4sin45°
(2)化簡(jiǎn):m(1﹣m)+(m﹣2)2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“重百”、“沃爾瑪”兩家超市出售同樣的保溫壺和水杯,保溫壺和水杯在兩家超市的售價(jià)分別一樣.已知買1個(gè)保溫壺和1個(gè)水杯要花費(fèi)60元,買2個(gè)保溫壺和3個(gè)水杯要花費(fèi)130元.
(1)請(qǐng)問:一個(gè)保溫壺與一個(gè)水杯售價(jià)各是多少元;(列方程組求解)
(2)為了迎接“五一勞動(dòng)節(jié)”,兩家超市都在搞促銷活動(dòng),“重百”超市規(guī)定:這兩種商品都打九折;“沃爾瑪”超市規(guī)定:買一個(gè)保溫壺贈(zèng)送一個(gè)水杯.若某單位想要買4個(gè)保溫壺和15個(gè)水杯,如果只能在一家超市購(gòu)買,請(qǐng)問選擇哪家超市購(gòu)買更合算,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)A(0,4),B(2,1)是直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中描出A,B兩點(diǎn),并畫出直線AB;
(2)寫出B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo) ;
(3)求出直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如圖所示的方式放置.點(diǎn)A1,A2,A3,…和點(diǎn)C1,C2,C3,…分別在直線y=kx+b(k>0)和x軸上,已知點(diǎn)B1(1,1),B2(3,2),則點(diǎn)B3的坐標(biāo)是_____;點(diǎn)B2018的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀:對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)t1≤x≤t2時(shí),求y的最值時(shí),主要取決于對(duì)稱軸x=﹣ 是否在t1≤x≤t2的范圍和a的正負(fù):①當(dāng)對(duì)稱軸x=﹣ 在t1≤x≤t2之內(nèi)且a>0時(shí),則x=﹣ 時(shí)y有最小值,x=t1或x=t2時(shí)y有最大值;②當(dāng)對(duì)稱軸x=﹣ 在t1≤x≤t2之內(nèi)且a<0時(shí),則x=﹣ 時(shí)y有最大值,x=t1或x=t2時(shí)y有最小值;③當(dāng)對(duì)稱軸x=﹣ 不在t1≤x≤t2之內(nèi),則函數(shù)在x=t1或x=t2時(shí)y有最值.
解決問題:
設(shè)二次函數(shù)y1=a(x﹣2)2+c(a≠0)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1),且2a+c=0.
(1)求a、c的值;
(2)當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí),直接寫出函數(shù)的最大值和最小值;
(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,規(guī)定:當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí),關(guān)于x的函數(shù)y2=y1﹣kx的最小值稱為k的“特別值”,記作g(k),求g(k)的解析式;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)“特別值”g(k)=1時(shí),求k的值.
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