【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長;
(2)如圖2,動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動過程中,
①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求t的值.
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動路程分別為a、b(單位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.
【答案】(1)證明見解析,AF=5cm.
(2)①以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,秒.
②a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).
【解析】
(1)先證明四邊形AFCE為平行四邊形,再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;根據(jù)勾股定理即可求得AF的長;
(2)分情況討論可知,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足為O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四邊形AFCE為平行四邊形,
又∵EF⊥AC,
∴四邊形AFCE為菱形,
設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=(8﹣x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,
解得x=5,
∴AF=5cm.
(2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時,Q點(diǎn)在CD上,此時A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;
同理P點(diǎn)在AB上時,Q點(diǎn)在DE或CE上,也不能構(gòu)成平行四邊形.
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,PC=QA,
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動時間為t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,
∴5t=12﹣4t,
解得,
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,秒.
②由題意得,以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上.
分三種情況:
i)如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時,AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;
ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時,AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;
iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時,AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.
綜上所述,a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A 在 y 軸正半軸上點(diǎn) B 在 x 軸負(fù)半軸上,且 AB=2,∠BAO=15°,點(diǎn) P 是線段OA 上的一個動點(diǎn),則 PB PA 的最小值為_____________.
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【題目】直線l:y=mx﹣m+1(m為常數(shù),且m≠0)與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),若△AOB(O是原點(diǎn))的面積恰為2,則符合要求的直線l有( )
A.1條
B.2條
C.3條
D.4條
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【題目】已知點(diǎn)D、E分別是∠B的兩邊BC、BA上的點(diǎn),∠DEB=2∠B,F為BA上一點(diǎn).
(1)如圖①,若DF平分∠BDE,求證:BD=DE+EF;
(2)如圖②,若DF為△DBE的外角平分線,BD、DE、EF三者有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,點(diǎn)A1(1,1)在直線y=x上,過點(diǎn)A1分別作y軸、x軸的平行線交直線y= x于點(diǎn)B1 , B2 , 過點(diǎn)B2作y軸的平行線交直線y=x于點(diǎn)A2 , 過點(diǎn)A2作x軸的平行線交直線y= x于點(diǎn)B3 , …,按照此規(guī)律進(jìn)行下去,則點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為 .
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【題目】如圖,是的外角,與的角平分線交于點(diǎn).
(1)若,,則,;
(2)探索與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若,,求的度數(shù).
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【題目】周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、S4、S6間的大小關(guān)系是( )
A.S3>S4>S6
B.S6>S4>S3
C.S6>S3>S4
D.S4>S6>S3
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有若干個整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)),其順序按圖中方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0)…… 根據(jù)這個規(guī)律探索可得,第50個點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. (10,-5)B. (10,-1) C. (10,0) D. (10,1)
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【題目】如圖,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.將求∠AGD的過程填寫完整.
解: ∵EF∥AD,
∴∠2=____(____________________________)
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3(等量代換)
∵AB∥_____(_____________________________)
∴∠BAC+______=180°(___________________________)
∵∠BAC=70°
∴∠AGD=_______.
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