【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其中,.

(1)若直線經(jīng)過兩點(diǎn),求直線和拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn),使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)為拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使為直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為,直線的解析式為.(2);(3)的坐標(biāo)為.

【解析】

1)先把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到ab,c的關(guān)系式,再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得ab的關(guān)系,再聯(lián)立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n,解方程組求出mn的值即可得到直線解析式;

(2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,此時(shí)MA+MC的值最。x=-1代入直線y=x+3y的值,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo);

(3)設(shè)P(-1,t),又因?yàn)?/span>B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

1)依題意得:,解得:

∴拋物線的解析式為.

∵對稱軸為,且拋物線經(jīng)過,

∴把、分別代入直線,

,解之得:,

∴直線的解析式為.

2)直線與對稱軸的交點(diǎn)為,則此時(shí)的值最小,把代入直線

.即當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)為.

(注:本題只求坐標(biāo)沒說要求證明為何此時(shí)的值最小,所以答案未證明的值最小的原因).

3)設(shè),又,,

,,,

①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn),則,即:解得:,

②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn),則,即:解得:,

③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn),則,即:解得:

,.

綜上所述的坐標(biāo)為.

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