Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位的平移稱為一次斜平移．已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)A經(jīng)過n次斜平移得到點(diǎn)B，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)n=3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M落在的圖像上，求n的值；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M落在直線上，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，BC與直線相交于點(diǎn)N．

①求證：△ABC是直角三角形

②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）2；（3）①詳見解析；②

【解析】

（1）由題中斜平移及中點(diǎn)公式即可求得；

（2）根據(jù)定義，表達(dá)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)中計(jì)算即可；

（3）①根據(jù)中心對(duì)稱及軸對(duì)稱得到，再由等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角度運(yùn)算得出即可證明；

②由平行得出△BMN∽△BAC，再根據(jù)比例關(guān)系得出MN的長度即可．

解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，點(diǎn)A(1，0)向右平移3個(gè)單位，向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B，

由中點(diǎn)公式可得，，

∴點(diǎn)M，

故答案為：，

（2）由定義可知B(n+1，2n)，

∴點(diǎn)M，

∴當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，

有，

解得，

∵n>0，

∴

（3）①連接，如圖：

由中心對(duì)稱可知，

由軸對(duì)稱可知，

∴

∴，

，

是直角三角形；

②過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：

∵，，，，

在直角三角形中，

∴△BMN∽△BAC