Question

【題目】問題提出

（1）如圖，是的中線，則__________；（填“”“”或“”）

問題探究

（2）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)的周長最小時(shí)，求的長；

問題解決

（3）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，是否存在這樣的點(diǎn)，使折線的長度最��？若存在，請確定點(diǎn)的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）＞；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長度最小，最小長度為4．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，從而可得AE的長，再根據(jù)三角形的周長公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出的周長最小時(shí)，點(diǎn)F的位置，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；

（3）如圖（見解析），先根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線的長度最小時(shí)，四點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出，，，然后利用軸對稱的性質(zhì)、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的長，即折線的最小長度；設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得折線的長度最小時(shí)，點(diǎn)Q的位置．

（1）如圖，延長AD，使得，連接CE

是的中線

在和中，

在中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即

故答案為：；

（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接FG，則

四邊形ABCD是矩形，

垂直平分

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

，，

則的周長為

要使的周長最小，只需

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值

∴

∴，即

解得；

（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則

∴折線的長度為

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，折線取得最小長度為

∵在矩形中，

∴，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱

∴，

，

∴

設(shè)交于點(diǎn)

在中，

∴

，即

又∵

∴是等邊三角形

∴

∵

∴點(diǎn)與的中點(diǎn)重合

綜上，當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長度最小，最小長度為4．