Question

【題目】如圖1，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O．

（1）在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線段AC，BD的數(shù)量關(guān)系是　　，直線AC，BD相交成　　度角．

（2）將圖1中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？請(qǐng)做出判斷并說明理由．

（3）將圖1中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？請(qǐng)作出判斷并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=BD，90；

（2）成立，理由見解析；

（3）成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由圖可知線段AC，BD相等，且直線AC，BD相交成90°角．（2）以上關(guān)系仍成立．延長(zhǎng)CA交BD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理可證得AC=BD，即可證明△AOC≌△BOD，根據(jù)兩全等三角形對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，即可證明CE⊥BD．（3）結(jié)論仍成立．延長(zhǎng)CA交OD于E，交BD于F，可證得△COA≌△DOB，同上即可得結(jié)論．

試題解析：(1)在圖1中，線段AC，BD的數(shù)量關(guān)系是相等，直線AC，BD相交成90度角；

(2)(1)中結(jié)論仍成立；

證明如下：如圖延長(zhǎng)CA交BD于點(diǎn)E，

∵等腰直角三角形OAB和OCD，

∴OA=OB，OC=OD，

∵AC2=AO2+CO2,BD2=OD2+OB2，

∴AC=BD；

∴△DOB≌△COA(SSS)，

∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，

∵∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠ACO+∠DBO=90°,則∠AEB=90°,即直線AC,BD相交成90°角。

(3)結(jié)論仍成立；如圖延長(zhǎng)CA交OD于E，交BD于F，

∵∠COD=∠AOB=90°，

∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，

即：∠COA=∠DOB，

∵CO=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB(SAS)，

∴AC=BD，∠ACO=∠ODB；

∵∠CEO=∠DEF，

∴∠COE=∠EFD=90°，

∴AC⊥BD,即直線AC,BD相交成90°角。