【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于點(diǎn)AB(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)M是拋物線上在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),過(guò)MMNy軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;

(3)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),F是拋物線上一點(diǎn),是否存在以A,B,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2);(3)存在.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).

【解析】

(1)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo),由此即可得出線段MN的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合點(diǎn)Mx軸下方可找出m的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題;
(3)討論:當(dāng)以AB為對(duì)角線,利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形,則點(diǎn)F也在對(duì)稱軸上,即F點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),所以F點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4);當(dāng)以AB為邊時(shí),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB=4,則可確定F的橫坐標(biāo),然后代入拋物線解析式得到F點(diǎn)的縱坐標(biāo).

解:(1)將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,

得: ,

解得

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,

把點(diǎn)B(3,0)代入y=kx+3中,

得:0=3k+3,解得:k=﹣1,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

MNy軸,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3).

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2,

∴點(diǎn)(1,0)在拋物線的圖象上,

1<m<3.

∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣2+,

∴當(dāng)m=時(shí),線段MN取最大值,最大值為

(3)存在.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).

當(dāng)以AB為對(duì)角線,如圖1,

∵四邊形AFBE為平行四邊形,EA=EB,

∴四邊形AFBE為菱形,

∴點(diǎn)F也在對(duì)稱軸上,即F點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),

F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1);

當(dāng)以AB為邊時(shí),如圖2,

∵四邊形AFBE為平行四邊形,

EF=AB=2,即F2E=2,F(xiàn)1E=2,

F1的橫坐標(biāo)為0,F(xiàn)2的橫坐標(biāo)為4,

對(duì)于y=x2﹣4x+3,

當(dāng)x=0時(shí),y=3;

當(dāng)x=4時(shí),y=16﹣16+3=3,

F點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(4,3).

綜上所述,F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2-2ax+ca≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).

1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;

2)寫出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)QQEAC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)B,且OAOB

1)求線段AC的長(zhǎng)度;

2)若點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)P位于第二象限,過(guò)PPQAB,垂足為Q.已知PQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】某地的一座人行天橋如圖所示,天橋高為6米,坡面BC的坡度為1:1,為了方便行人推車過(guò)天橋,有關(guān)部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為1:

(1)求新坡面的坡角∠CAB的度數(shù);

(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長(zhǎng))的文化墻PM是否需要拆除?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A. 增大 B. 減小

C. 先減小后增大 D. 先增大后減小

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①求證:;

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銷售單價(jià)x(元)

3.5

5.5

銷售量y(袋)

280

120

1)請(qǐng)直接寫出yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

2)如果每天獲得160元的利潤(rùn),銷售單價(jià)為多少元?

3)設(shè)每天的利潤(rùn)為w元,當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?

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A. m= -kB. m=kC. m= -2kD. m= -3k

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請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息,解答下列問(wèn)題:

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有_____人;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)選擇唱歌的學(xué)生有多少人?

(4)七年一班在最喜歡器樂(lè)的學(xué)生中,有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機(jī)選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的器樂(lè)隊(duì),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率.

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