Question

【題目】已知：如圖，二次函數(shù)y=ax2-2ax+c（a≠0）的圖象與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）．

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）寫出該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標；

（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；

（4）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+4；（2）二次函數(shù)的對稱軸為：直線x=1，頂點坐標為：（1，）；（3）Q點坐標為（1，0）；（4）存在，點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．

【解析】

（1）根據(jù)A，C兩點坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)配方法求出二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸即可；

（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，進而求出即可；

（4）利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)OF=OD時分別得出F點的坐標，將縱坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出P點坐標．

（1）∵點C（0，4），

∴c=4，

∵點A的坐標為（4，0），

∴0=16a-8a+4，

∴a=-，

∴y=-x2+x+4；

（2）y=-x2+x+4

=-（x2-2x）+4，

=- [（x2-2x+1）-1]+4，

=-（x-1）2+，

∴該二次函數(shù)的對稱軸為：直線x=1，頂點坐標為：（1，）；

（3）∵二次函數(shù)的對稱軸為：直線x=1，點A的坐標為（4，0），

∴B（-2，0，），AB=6，

S△ABC=×6×4=12，

設(shè)BQ=x，

∵EQ∥AC，

∴△BEQ∽△BCA，

∴（）2=，

∴S△BEQ=，

∴S△CQE=x×4-=-+2x，

當(dāng)x=-=3時，△CQE面積最大，

∴Q點坐標為（1，0）；

（4）存在，

在△ODF中，

①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），

∴AD=OD=DF=2，

又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°，

∴∠DFA=∠OAC=45°，

∴∠ADF=90°，此時，點F的坐標為：（2，2），

由-x2+x+4=2，

解得：x1=1+，x2=1-，

此時，點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）；

②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，

由等腰三角形的性質(zhì)得出：

OM=OD=1，

∴AM=3，

∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，

∴F（1，3），

由-x2+x+4=3，

解得：x1=1+，x2=1-，

此時，點P的坐標為：P（1+，3）或P（1-，3）；

③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，

∴AC=4，

∴點O到AC的距離為2，而OF=OD=2＜2，

∴此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．

綜上所述：存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，所求點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．