Question

【題目】如圖，已知為外心，為上一點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，且．

①求證：；

②若，且的半徑為，為內(nèi)心，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】①證明見(jiàn)解析； ②

【解析】

①先求出，然后求出△BCE和△ACB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠CBE，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；

②連接OB、OC，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)I，設(shè)OC與BD相交于點(diǎn)F，然后求出CF，再根據(jù)I是三角形的內(nèi)心，利用三角形的面積求出IF，然后求出CI，最后根據(jù)OI=OC﹣CI計(jì)算即可得解．

①∵BC2=ACCE，∴．

∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．

∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；

②連接OB、OC．

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．

∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形．

∵CD=CB，I是△BCD的內(nèi)心，∴OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)I，設(shè)OC與BD相交于點(diǎn)F，則CF=BC×sin30°BC，BF=BCcos30°BC，所以，BD=2BF=2BCBC，設(shè)△BCD內(nèi)切圓的半徑為r，則S△BCDBDCF（BD+CD+BC）r，即BCBC（BC+BC+BC）r，解得：rBCBC，即IFBC，所以，CI=CF﹣IFBCBC=（2）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（2）BC=（1）BC．

∵⊙O的半徑為3，∴BC=3，∴OI=（1）（3）=33﹣3．