Question

【題目】如圖，為的外接圓，為與的交點，為線段延長線上一點，且．

(1)求證：直線是的切線．

(2)若為的中點，，．

①求的半徑；

②求的內心到點的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)①;②5．

【解析】

（1）連接AO，并延長AO交⊙O于點F，連接CF，由圓周角定理的推論可得∠ACF=90°，可得∠F+∠FAC=90°，由∠EAC=∠ABC，可得∠EAC+∠FAC=90°，即可完成證明；

(2)①由垂徑定理可得OD⊥AB，AD=BD=8，由勾股定理可求⊙O的半徑；

②作∠CAB的平分線交CD于點H，連接BH，過點H作HM⊥AC，HN⊥BC，則點H是△ABC的內心，由三角形內心的性質可得HM=HN=HD，由三角形的面積公式可求HD的值，即可完成解答．

(1)證明：如圖：連接AO，并延長AO交⊙O于點F，連接CF，

∵AF是直徑，

∴∠ACF=90°，

∴∠F+∠FAC=90°，

∵∠F=∠ABC，∠ABC=∠EAC，

∴∠EAC=∠F，

∴∠EAC+∠FAC=90°，

∴∠EAF=90°，

∵AO是半徑，

∴直線AE是⊙O的切線；

(2)①如圖，連接AO，

∵D為AB的中點，OD過圓心，

∴OD⊥AB，AD=BD=AB=8，

∵AO2=AD2+DO2，

∴AO2=82+（AO-6）2，

∴AO=，

∴⊙O的半徑為；

②如圖，作∠CAB的平分線交CD于點H，連接BH，過點H作HM⊥AC，HN⊥BC，

∵OD⊥AB，AD=BD，

∴AC=BC，

∴CD平分∠ACB，即點H是△ABC的內心，

∴MH=NH=DH，

在Rt△ACD中，，

∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH，

∴×16×6=×10×MH+×16×DH+×10×NH，

∴DH=，

∵OH=CO－CH=CO－（ CD－DH），

∴.