0  439  447  453  457  463  465  469  475  477  483  489  493  495  499  505  507  513  517  519  523  525  529  531  533  534  535  537  538  539  541  543  547  549  553  555  559  565  567  573  577  579  583  589  595  597  603  607  609  615  619  625  633  447090 

解:1.∵1=p, n=pn-1,∴n=pn.

又b1=q,

 b2=q1+rb1=q(p+r),

 b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),…

設(shè)想

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n=2時(shí),等式成立;

設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即

則bk+1=qk+rbk=

即n=k+1時(shí)等式也成立

所以對(duì)于一切自然數(shù)n≥2,都成立

 

 

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2.求

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1.用p,q,r,n表示bn,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;

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由(1)(2)兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.

由上式及y2≠0,得y3≠-y1,也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=-y1-y3代入(1)式得:

(3)式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合,即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,則A3A1也與拋物線x2=2qy相切

九.(附加題,本題滿分20分,計(jì)入總分)

已知數(shù)列和數(shù)列其中

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解:不失一般性,設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)為

A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

因此y12=2px1,y22=2px2 ,y32=2px3

其中y1≠y2 , y2≠y3 , y3≠y1 .

依題意,設(shè)A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切

因?yàn)閤2=2qy在原點(diǎn)O處的切線是y2=2px的對(duì)稱軸,所以原點(diǎn)O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)即(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),都不能是(0,0);又因A1A2與x2=2qy相切,所以A1A2不能與Y軸平行,即x1≠x2 , y1≠-y2,直線A1A2的方程是

同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切,A2A3也不能與Y軸平行,即

x2≠x3, y2≠-y3,同樣得到

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              B                   

                                  

         M                          

            R                     

   A          N                  

          Q          D            

      K      S                    

                 P                  

          C                        

證:連結(jié)AC,在△ABC中,

∵AM=MB,CN=NB,∴MN∥AC

在△ADC中,∵AQ=QD,CP=PD,

∴QP∥AC∴MN∥QP

同理,連結(jié)BD可證MQ∥NP

∴MNPQ是平行四邊形

取AC的中點(diǎn)K,連BK,DK

∵AB=BC,∴BK⊥AC,

∵AD=DC,∴DK⊥AC因此平面BKD與AC垂直

∵BD在平面BKD內(nèi),∴BD⊥AC∵M(jìn)Q∥BD,QP∥AC,∴MQ⊥QP,即∠MQP為直角故MNPQ是矩形

八.(本題滿分18分)

          Y                   

 x2=2qy                         

                               

                   y2=2px      

                A1               

                               

        O A2  A3         X    

拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切,證明這個(gè)三角形的第三邊也與x2=2qy相切

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2.化為圖形是橢圓

已知圓錐體的底面半徑為R,高為H

求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)(如圖)

           A                    

                               

                                    

         D   c         H      

                               

                     h         

B   E                     

        O                 

                           

       2R                   

解:設(shè)圓柱體半徑為r高為h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圓柱體體積

由題意,H>h>0,利用均值不等式,有

(注:原“解一”對(duì)h求導(dǎo)由駐點(diǎn)解得)

五.(本題滿分15分)

(要寫出比較過程)

解一:當(dāng)>1時(shí),

解二:

六.(本題滿分16分)

               A               

                                

           M    P(ρ,θ)               

                           X   

                                

     O                        

                N        B    

如圖:已知銳角∠AOB=2α內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c2今以O(shè)為極點(diǎn),∠AOB的角平分線OX為極軸,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程,并說明它表示什么曲線

解:設(shè)P的極點(diǎn)坐標(biāo)為(ρ,θ)∴∠POM=α-θ,∠NOM=α+θ,

OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),

ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),

四邊形PMON的面積

這個(gè)方程表示雙曲線由題意,

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內(nèi)的一部分

 

七.(本題滿分16分)

已知空間四邊形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)(如圖)求證MNPQ是一個(gè)矩形

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解:1.得2x-3y-6=0圖形是直線

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