已知函數(shù)f(x)（x∈R且x＞0），對于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1時，f(x)＞0恒成立。
（1）求f(1)；
（2）證明方程f(x)=0有且僅有一個實根；
（3）若x∈[1，+∞)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f(x)(x∈R且x＞0)，對于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1時，f(x)＞0恒成立。 （1）求f(1)；
（2）證明方程f(x)=0有且僅有一個實根；
（3）若x∈[1，+∞)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

如圖，開始時桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y₁=a•e^-nt（n為常數(shù)，t為注水時間），那么桶2中的水就是y₂=a-a•e^-nt．如果由桶1向桶2中注水5分鐘時，兩桶中的水相等，那么經(jīng)過分鐘桶1中的水只有

a

8

．