0  446522  446530  446536  446540  446546  446548  446552  446558  446560  446566  446572  446576  446578  446582  446588  446590  446596  446600  446602  446606  446608  446612  446614  446616  446617  446618  446620  446621  446622  446624  446626  446630  446632  446636  446638  446642  446648  446650  446656  446660  446662  446666  446672  446678  446680  446686  446690  446692  446698  446702  446708  446716  447090 

18.(丁中)求與橢圓有公共頂點(diǎn),且離心率為的雙曲線方程.

錯(cuò)解:

錯(cuò)因:忽視了橢圓的短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)。

正解:

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17.(丁中)已知點(diǎn)A(-2,-1)和B(2,3),圓C:x2+y2 = m2,當(dāng)圓C與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),求m的取值范圍。

錯(cuò)解:,

錯(cuò)因:將題中的實(shí)數(shù)m當(dāng)成了圓的半徑,誤認(rèn)為m>0。

正解:

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16.(一中)已知點(diǎn)N(1,2),過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線A、B兩點(diǎn),且

  (1)求直線AB的方程;

  (2)若過(guò)N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn),且,那么A、BC、D四點(diǎn)是否共圓?為什么?

解:(1)設(shè)直線AB代入

       (*)

     令A(x1y1),B(x2y2),則x1x2是方程的兩根

     ∴   且   

     ∵    ∴  NAB的中點(diǎn)  ∴ 

     ∴    k = 1   ∴AB方程為:y = x + 1  

  (2)將k = 1代入方程(*)得   

     由

     ∴  ,

     ∵    ∴  CD垂直平分AB   ∴  CD所在直線方程為

     代入雙曲線方程整理得

     令,CD中點(diǎn)

     則,,  ∴, 

     |CD| =

     ,即A、B、C、DM距離相等

     ∴  A、B、CD四點(diǎn)共圓

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15.(一中)如圖所示,已知AB、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn),點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),BC過(guò)橢圓中心O,且,|BC|=2|AC|.

(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求橢圓方程;

(II)如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q,使∠PCQ的平分線垂直于AO,證明:存在實(shí)數(shù)λ,使

解:(I)以O(shè)為原點(diǎn),OA為X軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(2,0),則橢圓方程為

    ∵O為橢圓中心,∴由對(duì)稱性知|OC|=|OB|

    又∵, ∴ACBC

    又∵|BC|=2|AC|  ∴|OC|=|AC|

    ∴△AOC為等腰直角三角形 

    ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)  ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-1)

    將C的坐標(biāo)(1,1)代入橢圓方程得,

    則求得橢圓方程為   

    (II)由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸),不妨設(shè)PC的斜率為k,則QC的斜率為-k,因此PC、QC的直線方程分別為yk(x-1)+1,y=-k(x-1)+1

    由  得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 *)

    ∵點(diǎn)C(1,1)在橢圓上,

    ∴x=1是方程(*)的一個(gè)根,∴xP•1=xP

    同理xQ 

    ∴直線PQ的斜率為(定值)

又∠ACB的平分線也垂直于OA

    ∴直線PQAB的斜率相等(∵kAB=)

    ∴向量,即總存在實(shí)數(shù),使成立.

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14.(城西中學(xué))設(shè)F1、F2是雙曲線-=1(a>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)

⑴若點(diǎn)P在雙曲線上,且·=0,||·||=2,求雙曲線的方程。

⑵設(shè)曲線C是以⑴中的雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓,若F1’、F2’分別是其左右 焦點(diǎn),點(diǎn)Q是橢圓上任一點(diǎn),M(2,)是平面上一點(diǎn),求|QM|+|QF1’|的最大值。

正確答案:⑴因?yàn)?sub>·=0,∴依題意

|2+||2=||2 、

||+||=2    ②

|||-|||=4 、

①-③2:2||·||=4a,將②代入得a=1,

所以雙曲線的方程為-y2=1

⑵由⑴及題意可得C的方程為+y2=1,所以|QF1’|+|QF2’|=2

且F1’(-2,0),F2’(2,0),顯然M點(diǎn)在橢圓內(nèi)部。

所以|QM|+|QF1’|=|QM|+2-|QF2’|≤2+|MF2’|

如圖當(dāng)|QM|-|QF2’|=|MF2’|時(shí) |QM|-|QF2’|的值最大

所以|QM|+|QF1’|的最大值為2+

錯(cuò)因:第二問(wèn)的轉(zhuǎn)化出錯(cuò)。

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13.(磨中)設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0,)

到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,求這個(gè)橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)坐標(biāo)。

  正確答案:+y2=1

  錯(cuò)語(yǔ)原因:①利用相切的條件求解設(shè)有理論依據(jù)

②求最值時(shí)忽視了b的范圍而沒(méi)有加以討論,導(dǎo)致解題過(guò)程出錯(cuò)。

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12.(磨中)設(shè)拋物線y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。

  正確答案:見(jiàn)2001年全國(guó)高考理19題

  錯(cuò)誤原因:設(shè)直線斜率為k,考慮到一般情況,而忽視了特殊情況。

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11.(搬中) 已知橢圓,F(xiàn)為它的右焦點(diǎn),直線過(guò)原點(diǎn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。求是否存在最大值或最小值?若不存在,說(shuō)明理由。

   錯(cuò)解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為

   因?yàn)?sub>

   所以

  

   又橢圓中心為(1,0),右準(zhǔn)線方程為x=5

   所以

   即

   同理

   所以

   設(shè)直線的方程為y=kx,代入橢圓方程得

  

   所以

   代入(1)式得

  

   所以

   所以|有最小值3,無(wú)最大值。

   剖析  上述錯(cuò)解過(guò)程忽視了過(guò)原點(diǎn)斜率不存在的直線,當(dāng)的斜率不存在時(shí),有

  

  所以有最小值為 3,最大值為25/4

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10.(搬中)已知雙曲線,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(1,1)能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),并且A為線段PQ的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程,若不存在,說(shuō)明理由。

   錯(cuò)解  設(shè)符合題意的直線存在,并設(shè)

   則

   (1)

  

   因?yàn)锳(1,1)為線段PQ的中點(diǎn),

   所以

   將(4)、(5)代入(3)得

  

   若,則直線的斜率

  

   所以符合題設(shè)條件的直線存在。

   其方程為

   剖析  在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)兩式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)兩式,故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn),上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn),故是錯(cuò)誤的。

   應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上,再由

  

   得

   根據(jù),說(shuō)明所求直線不存在。

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9. (搬中)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率,已知點(diǎn)P()到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是,求這個(gè)橢圓的方程。

   錯(cuò)解  設(shè)所求橢圓方程為

  

   因?yàn)?sub>

  

   所以a=2b

   于是橢圓方程為

  

   設(shè)橢圓上點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)P 的距離為d,

   則:

  

  

   所以當(dāng)時(shí),

   有

   所以所求橢圓方程為

  

   剖析  由橢圓方程

   得

   由(1)式知是y的二次函數(shù),

   其對(duì)稱軸為

   上述錯(cuò)解在于沒(méi)有就對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進(jìn)行分類,

   其正確應(yīng)對(duì)f(y)=的最值情況進(jìn)行討論:

   (1)當(dāng),即時(shí)

   =7

   ,方程為

   (2)當(dāng),

   即時(shí),

  

   ,與矛盾。

   綜上所述,所求橢圓方程為

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同步練習(xí)冊(cè)答案