15．如圖所示.已知A.B.C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn).點(diǎn)A是長軸的一個端點(diǎn).BC過橢圓中心O.且.|BC|＝2|AC|． (I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.求橢圓方程, (II)如果橢圓上有兩點(diǎn)P.Q.使∠PCQ的平分線垂直于AO.證明:存在實(shí)數(shù)λ.使． 解:(I)以O(shè)為原點(diǎn).OA為X軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(2.0).則橢圓方程為 ∵O為橢圓中心.∴由對稱性知|OC|＝|OB| 又∵. ∴AC⊥BC 又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形 ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1.1) ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為 將C的坐標(biāo)(1.1)代入橢圓方程得. 則求得橢圓方程為 (II)由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸).不妨設(shè)PC的斜率為k.則QC的斜率為-k.因此PC.QC的直線方程分別為y＝k(x-1)+1.y＝-k(x-1)+1 由 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1＝0 *) ∵點(diǎn)C(1.1)在橢圓上. ∴x＝1是方程(*)的一個根.∴xP•1＝即xP＝ 同理xQ＝ ∴直線PQ的斜率為 又∠ACB的平分線也垂直于OA ∴直線PQ與AB的斜率相等(∵kAB=) ∴向量.即總存在實(shí)數(shù).使成立． 【查看更多】

 

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