1. 關(guān)系分析法。即通過尋找關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來建立問題的數(shù)學模型的方法。

　 例1. (水塔供水問題)某工廠有容量為300噸的水塔一個，每天從早上6時起到晚上10時止供應(yīng)該廠生活和生產(chǎn)用水。已知該廠生活用水為每小時10噸，工業(yè)用水量W(噸)與時間(單位：小時，定義早上6時=0)的函數(shù)關(guān)系式為，水塔的進水量有10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時的進水量增加10噸，若某天水塔原有水100噸，在供水同時打開進水管。

　　 (1)設(shè)進水量選用第級，寫出在時刻水的存有量；

　　 (2)問進水量選擇第幾級，既能保證該廠用水(水塔中水不空)又不會使水溢出。

　　 讀懂題目：題目涉及的關(guān)鍵詞比較多：生活用水量、工業(yè)用水量、水的存有量、進水量、原有量。其數(shù)量關(guān)系為：存有量=進水量－用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量。第一問的關(guān)鍵點是求“進水量選用第級”。第二問的關(guān)鍵點是“水塔中水不空不溢”轉(zhuǎn)化為“存有量”。

　　 建立數(shù)學模型：存有量=進水量－用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量=10在選用第級的進水量時，時刻水的存有量為，要使水搭中水不空不溢，則，問題轉(zhuǎn)化為確定，使，在()上恒成立。

　　 求解數(shù)學模型：面對上述不等式，如何求解？是否會轉(zhuǎn)化為“對一切恒成立，”是否會作一個代換“令”，將其轉(zhuǎn)化為“對一切恒成立”，由于在上的最小值為在上的最大值為，從而確定。

4. 檢驗。既要檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學模型，又要評判所得結(jié)果是否符合實際問題的要求，從而對原問題作出合乎實際意義的回答。

3. 求解數(shù)學模型。根據(jù)所建立的數(shù)學模型，選擇合適的數(shù)學方法，設(shè)計合理簡捷的運算途徑，求出數(shù)學問題的解，其中特別注意實際問題中對變量范圍的限制及其他約束條件。

2. 建立數(shù)學模型。將實際問題抽象為數(shù)學問題，建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學模型。

　　 數(shù)學建模分析的步驟：

1. 讀懂題目。應(yīng)包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。

　　 “整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對象；

　　 “局部理解”是指抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；

　　 “分析關(guān)系”就是根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；

　　 “領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)”是指抓住題目中的主要問題、正確識別其類型。

全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題(一)

15.　 (20分)某新建商場設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個經(jīng)營部，共有190名售貨員，計劃全商場的日營業(yè)額(每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元，根據(jù)經(jīng)驗，各部商品每1萬元營業(yè)額需要售貨員人數(shù)及每1萬元營業(yè)額所得利潤情況如表所示，商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經(jīng)營部，同時適當安排各部的營業(yè)員人數(shù)，若商場預(yù)計每日的總利潤為c萬元，且19≤c≤19.7，又已知商場分配給經(jīng)營部的營業(yè)額均為整數(shù)萬元，問這個商場怎樣分配營業(yè)額給三個部？各部分別安排多少名營業(yè)員？

第二試

14.　 (20分)直線Ax+By+C＝0(ABC≠0)與橢圓b²x²+a²y²＝a²b²相交于P和Q兩點，O為坐標原點，且OP⊥OQ，求證：.

13.　 (20分)求證：經(jīng)過正方體中心的任意截面的面積不小于正方體一個側(cè)面的面積.

12.　 若實數(shù)a＞0，則滿足a⁵－a³+a＝2的a值屬于區(qū)間:①(0，)；②()，③(，+∞)；④(0，).其中正確的是_________________.