1．sin (–270°) = (　 )

A．–1　　　　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　　 D．–

21．(本小題滿分13分)

定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．已知無窮等比數(shù)列的首項和公比均為．

　 (1)試求無窮等比子數(shù)列()各項的和；

　 (2)已知數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列各項的和為，求這個子數(shù)列的通項公式；

(3)證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等．

解：(1)依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：

．　 ……………………………………………………………………3分

(2)解法一：設(shè)子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即 ，　 ．

而 　，則 ．

所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項．公比均為，

其通項公式為，．　　 ………………………………………………7分

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．

由………… ①

又若，則對每一_，都有………… ②

從①、②得；則；

因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項．公比均為無窮等比子數(shù)列，通項公式為，．　 …………………………………………7分

(3)假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等．設(shè)這兩個

子數(shù)列的首項與公比分別為和，其中且或，則………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

．

①………… ②

②

或

，兩個等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

故不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等． ………13分

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20．(本小題滿分13分)

已知是橢圓的頂點(如圖),直線與橢圓交于異于頂點的兩點,且．若橢圓的離心率

是,且．

(1)求此橢圓的方程；

(2)設(shè)直線和直線的傾斜角分別

為．試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．

解：(1)由已知可得，所以橢圓方程為．　 ……4分

(2)是定值．理由如下：

　　 由(1)，A₂(2，0)，B(0，1)，且//A₂B，所以直線的斜率．…6分

　　 設(shè)直線的方程為,，

　　 即，且 ．　　　　 ………………………9分

　　 ． …………………………………………10分

　　 又因為，

　　 ＝

　　 ．

　　 又 是定值．…………………………13分

19．(本小題滿分13分)

已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式　

恒成立，求實數(shù)的取值組成的集合．

解：(1)由已知得．因為，

所以當(dāng)．

故區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間，區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間．……5分

(2)①當(dāng)時，．

令，則．

由(1)知當(dāng)時，有，所以，

即得在上為增函數(shù)，所以，

所以． ………………………………………………………………………………9分

②當(dāng)時，．

由①可知，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，

所以．

綜合以上得．故實數(shù)的取值組成的集合為．　 …………………………13分

18．(本小題滿分12分)

在一種智力有獎競猜游戲中，每個參加者可以回答兩個問題(題1和題2)，且對兩個問題可以按自己選擇的順序進(jìn)行作答，但是只有答對了第一個問題之后才能回答第二個問題．假設(shè)：答對題()，就得到獎金元，且答對題的概率為()，并且兩次作答不會相互影響．

(1)當(dāng)元，，元，時，某人選擇先回答題1，設(shè)獲得獎金為，求的分布列和．

(2)若，，若答題人無論先回答哪個問題，答題人可能得到的獎金一樣多，求此時的值．

解：(1)分布列：

	0	2000	3000
	0.4	0.12	0.48

．　………………………………6分(2)設(shè)選擇先回答題1，得到的獎金為；選擇先回答題2，得到的獎金為，

則有_，．根據(jù)題意可知：

，

當(dāng)時，(負(fù)號舍去)．當(dāng)時，_，

_，先答題1或題2可能得到的獎金一樣多．………………………………12分

17．(本小題滿分12分)

已知斜三棱柱，，　

，在底面上的射影恰

為的中點，又知．

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小．

解：(1)取的中點，則，因為，

所以，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由，知，

又，從而平面．　 　…………………………………………6分

(2)由，得．設(shè)平面的法向量為，

，，所以 ，

設(shè)，則．

再設(shè)平面的法向量為，，，

所以 ，設(shè)，則．

根據(jù)法向量的方向，可知二面角的大小為． ……………12分

幾何法(略)

16．(本小題滿分12分)

已知sin(+3a) sin(－3a)＝，a∈(0， )，求(1)求角；(2)求( －)sin4α的值．

解：(1)

，

即，又6a∈(0，)，∴，即．…………………………6分

(2)(－)

sin4α=

．………………………………………………………………………12分

15．已知，滿足，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，最小值為4，

則(i)；(ii)的取值范圍為．

14．已知數(shù)列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，……．

(i)對應(yīng)的項數(shù)為；(ii)前2009項的和為．

13．底面邊長為，側(cè)棱長為2的正三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，則球O的表面積為．