1．導數(shù)的常規(guī)問題：

（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。

2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。

3．導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。

1．導數(shù)概念的理解．

2．利用導數(shù)判別可導函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．

復合函數(shù)的求導法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復合函數(shù)的求導法則，接下來對法則進行了證明。

3．要能正確求導，必須做到以下兩點：

（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數(shù)的求導法則。

（2）對于一個復合函數(shù)，一定要理清中間的復合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導。

4．求復合函數(shù)的導數(shù)，一般按以下三個步驟進行：

(1）適當選定中間變量，正確分解復合關(guān)系；（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。

也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導，中間變量對自變量求導；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解――求導――回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。

例1．   在處可導，則            

思路：   在處可導，必連續(xù)          ∴

        ∴    

例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：

　　（1）；  （2）

　　分析：在導數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

　　解：（1）

　�。�2）

說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。

解：若為偶函數(shù)        令

∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)

    另證：

∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)

例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；

　�。�2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。

　　分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導數(shù)。

　　解：（1），

　　，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0

　　因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1

　　（2）

　　。

例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間

（1）      （2）

（3）                （4）

解：（1）  時

   ∴ ， 

（2）   ∴ ，

（3） 

∴      

∴ ，   ，

（4）  定義域為

例6．求證下列不等式

（1） 

（2） 

（3） 

證：（1）  

∴ 為上    ∴    恒成立

∴     

∴ 在上  ∴  恒成立

（2）原式   令     

∴    ∴     

       ∴

（3）令  

     ∴

∴

例7．利用導數(shù)求和：

　　（1）；

　�。�2）。

　　分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，利用導數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。

　　解：（1）當x=1時，

　��；

　　當x≠1時，

　　∵，

　　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導得

　　即

　�。�2）∵，

　　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導得。

　　令x=1得

　　，

　　即。

例8．設，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.

解：.

當時   .

（i）當時，對所有，有.

即，此時在內(nèi)單調(diào)遞增.

（ii）當時，對，有，

即，此時在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，

函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增

（iii）當時，令，即.

解得.

因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間

內(nèi)也單調(diào)遞增.

令，解得.

因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

　例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和。

　�。�1）求A、B兩點的坐標； （2）求直線與的夾角。

　　分析：理解導數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。

　　解  （1）由方程組

　　    解得 A(-2，0)，B(3，5)

　�。�2）由y′=2x，則，。設兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，

　　       所以

　　說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。

例10．（2001年天津卷）設，是上的偶函數(shù)。

（I）求的值；  （II）證明在上是增函數(shù)。

解：（I）依題意，對一切有，即，

∴對一切成立，

由此得到，，    又∵，∴。

（II）證明：由，得，

當時，有，此時。∴在上是增函數(shù)。

1．（全國卷10）函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（   ）

    A ()        B (π,2π)        C ()        D (2π,3π)

2．（全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

3.(天津卷9)函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是

   (A)    (B)    (C)    (D)

4.（天津卷20）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)在處取得極值。

(I)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

(II)過點作曲線的切線，求此切線方程。

（江蘇卷10）函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是  (   )

(A)1，-1        (B)1，-17       (C)3，-17       (D)9，-19

（浙江卷11）設f '(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=f '(x)的圖象

如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是

(A)               (B)               (C)                (D)

（浙江卷20）設曲線y=e^-x(x≥0)在點M(t,e^-t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t).
(1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。