海淀區(qū)高三年級第二學期期中練習

          數(shù)   學（理科）    2009.3

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．設全集為實數(shù)集R，集合                              （    ）

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       A．        B．        C．       D．

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2．在三角形ABC中，若則此三角形必是                             （    ）

       A．等腰三角形        B．正三角形            C．直角三角形        D．等腰直角三角形

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3．曲線C在直角坐標系中的參數(shù)方程（α為參數(shù)）.若以原點為極點，x軸正半軸為極軸，長度單位不變，建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程是                               （    ）

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       A．       B．        C．       D．

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4．若存在的一個充分不必要條件是                                       （    ）

       A．q>p                    B．|p|=|q|                 C．q<p<0                 D．0<q<p

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5．已知平面                         （    ）

       A．一定存在直線與直線m平行，也一定存在直線與直線m垂直

       B．一定存在直線與直線m平行，但不一定存在直線與直線m垂直

       C．不一定存在直線與直線m平行，但一定存在直線與直線m垂直

       D．不一定存在直線與直線m平行，也不一定存在直線與直線m垂直

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6．6名運動員站在6條跑道上準備參加比賽，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必須站在第五道或第六道，則不同排法種數(shù)共有                                   （    ）

       A．144                    B．96                      C．72                      D．48

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7．在平面直角坐標系內(nèi),將直線l向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，得到直線l′,l與l′間的距離為，則直線l的傾斜角為                                        （    ）

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       A．           B．           C．       D．

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8．已知函數(shù)恒成立，則實數(shù)m的最大值為                                                     （    ）

       A．2                        B．3                        C．4                        D．5

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二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.

9．圓錐底面半徑為1，其母線與底面所成的角為60°，則它的側(cè)面積為           ；它的體積為                 .

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10．函數(shù)的最小正周期為          ；其圖象的位于y軸右側(cè)的對稱軸從左到右分別為l1，l2，l3，…，則l3的方程是               .

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11．不等式的解集為            ；若關于x的不等式的解集為R（實數(shù)集），則實數(shù)a的取值范圍是              .

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12．雙曲線的焦點坐標為                ;若曲線有一條準線方程為x=2，則實數(shù)m為            .

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13．等差數(shù)列，其前6項和為24，則其首項a1為          ；數(shù)列{|an|}

的前9項和等于                 .

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14．在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，到點P（－4，5）的距離大于2且小于3的整點共有           個；將這些點按到原點的距離從小到大排列，分別記為點P1，P2，P3，…，則點P7的坐標為              .

 

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三、解答題：本大題共6個小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）已知復平面內(nèi)點A、B對應的復數(shù)分別是，其中對應的復數(shù)為z.

（Ⅰ）求復數(shù)z;

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（Ⅱ）若復數(shù)z對應的點P在y=上，求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本小題滿分15分）

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（Ⅰ）求證：AM⊥PD；

（Ⅱ）求二面角P―AM―N的大�。�

（Ⅲ）求直線CD與平面AMN所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分14分）

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已知數(shù)列、

（Ⅰ）若{an}是等比數(shù)列，試求數(shù)列{bn}的前n項和S­n的公式；

（Ⅱ）當{an}是等比數(shù)列時，甲同學說：{an}一定是等比數(shù)列；乙同學說：{an}一定不是等比數(shù)列,你認為他們的說法是否正確？為什么？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分13分）

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    在平面直角坐標系中，長度為6的線段PQ的一個端點P在射線y=0(x≤0)上滑動，另一端點Q在射線x=0(y≤0)上滑動，點M在線段PQ上，且

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；

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19．（本小題滿分13分）

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    甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15?/小時，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40?處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（的方向作勻速直線航行，速度為10 ?/小時.（如圖所示）

（Ⅰ）求出發(fā)后3小時兩船相距多少?？

（Ⅱ）求兩船出發(fā)后多長時間相距最近？最近距離為多少?？

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20．（本小題滿分13分）

    集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f (x) 構成的：

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對于任意的

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（Ⅰ）試判斷？說明理由；

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（Ⅱ）設寫出一個滿足以上條件的f (x)的解析式；并證明你寫出的函數(shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題（每小題5分，共40分）

題 號

1

2

3

4

5

6

7

8

答 案

B

A

D

C

C

A

B

C

二、填空題（每小題5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分）

   9．2π； π   10．12π；x=13π    11．

   12．（±2，0）；－    13．9；  41      14．12；  （－6，4）

三、15．（本小題滿分12分）

解：（1）……………………3分

                  ………………5分

   （2）點P的坐標為………………6分

        由點P在直線上，即.………………9分

       

        ……………………12分

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.

∴CD⊥平面PAD……………………………………3分

∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.

∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.

∴AM⊥平面PCD.

∴AM⊥PD.…………………………………………5分

   （II）解：∵AM⊥平面PCD（已證）.

∴AM⊥PM，AM⊥NM.

∴∠PMN為二面角P-AM-N的平面角.…………………………7分

∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.

在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.

∵PA=AD，AM⊥PD，∴M為PD的中點，PM=PD=

由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴.

…………10分

即二面角P―AM―N的大小為.（III）解：延長NM，CD交于點E.

∵PC⊥平面AMN，∴NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影

∴∠CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角.…………12分

在Rt△PMN中，

∴CD與平面AMN所成的角的大小為…………15分

17． （I）解：因為{an}是等比數(shù)列a1=1,a2=a.

∴a≠0，an=an－1.……………………………………2分

又…………5分

即是以a為首項, a2為公比的等比數(shù)列.

……………………9分

（II）甲、乙兩個同學的說法都不正確，理由如下：……………………10分

解法一：設{bn}的公比為q，則

又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，

a2, a4, a6, …, a2n , …是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，…………………………11分

即{an}為：1，a, q, aq , q2, aq2, ……………………………………………………………12分

當q=a2時，{an}是等比數(shù)列；

當q≠a2時，{an}不是等比數(shù)列.…………………………………………………………14分

解法二：{an}可能是等比數(shù)列，也可能不是等比數(shù)列，舉例說明如下：

設{bn}的公比為q

（1）取a=q=1時，an=1(n∈N)，此時bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比數(shù)列.…………11分

（2）取a=2, q=1時，

所以{bn}是等比數(shù)列，而{an}不是等比數(shù)列.……………………………………14分

18．（本小題滿分13分）

   （I）解：設點P、Q、M的坐標分別是P(x1, 0)、Q（0，y1）、M(x, y) 其中x1≤0，y1≤0,依條件可得……………………………………………………………2分

又依

代入（*）式，得……7分

即點M的軌跡方程為

（II）解：設M點的坐標是（4cosα，2sinα）其中0≤α<2π

S四邊形OAMB=S△OAM+S△OBM

    
   
    
    
    
    
    
    僅當時，
    四邊形OAMB的面積有最大值. …………13分
    19．（本小題滿分13分）
    解：以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
    設在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1,
y1) Q (x2,y2).
    （I）令，P、Q兩點的坐標分別為（45，45），（30，20）
    .
    即兩船出發(fā)后3小時時，相距鋰.……………………8分
    （II）由（I）的解法過程易知：
    ∴當且僅當t=4時，|PQ|的最小值為20 .………………13分
    即兩船出發(fā)4小時時，相距20 海里為兩船最近距離.
    20．（本小題滿分13分）
       （I）解：取x=1 , y=4則
         
    ………………6分
      （II）設函數(shù)滿足其值域為（1，2）
    且……………………………………………………9分
    又任意取x>0, y>0且x≠y則
    ………………………13分（囿于篇幅，若有其它正確解法請按相應步驟給分.）
     
    
				
	
    
		
    


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