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【題目】已知直線與橢圓相交于兩點,其中在第一象限,是橢圓上一點.
(1)記、是橢圓的左右焦點,若直線過,當到的距離與到直線的距離相等時,求點的橫坐標;
(2)若點關于軸對稱,當的面積最大時,求直線的方程;
(3)設直線和與軸分別交于,證明:為定值.
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【題目】一家污水處理廠有兩個相同的裝滿污水的處理池,通過去掉污物處理污水,池用傳統(tǒng)工藝成本低,每小時去掉池中剩余污物的10%,池用創(chuàng)新工藝成本高,每小時去掉池中剩余污物的19%.
(1)池要用多長時間才能把污物的量減少一半;(精確到1小時)
(2)如果污物減少為原來的10%便符合環(huán)保規(guī)定,處理后的污水可以排入河流,若兩池同時工作,問經(jīng)過多少小時后把兩池水混合便符合環(huán)保規(guī)定.(精確到1小時)
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標原點時,求實數(shù)a的取值集合;
(3)證明:當時,函數(shù)有兩個零點,,且滿足.
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【題目】已知數(shù)列滿足,,其中是數(shù)列的前n項和.
(1)求和的值及數(shù)列的通項公式;
(2)設.
①若,求k的值;
②求證:數(shù)列(中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積.
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【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內(nèi)一點P作x軸的垂線交其“輔圓”于點Q,當點Q在點P的上方時,稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若的面積等于,求上輔點Q的坐標;
(3)過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T,判斷直線PT與橢圓E的位置關系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】為響應“生產(chǎn)發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風文明、村容整潔、管理民主”的社會主義新農(nóng)村建設,某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地(如圖)租給蜂農(nóng)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜.已知扇形AOB中,,(百米),荒地內(nèi)規(guī)劃修建兩條直路AB,OC,其中點C在上(C與A,B不重合),在小路AB與OC的交點D處設立售蜜點,圖中陰影部分為蜂巢區(qū),空白部分為蜂源植物生長區(qū).設,蜂巢區(qū)的面積為S(平方百米).
(1)求S關于的函數(shù)關系式;
(2)當為何值時,蜂巢區(qū)的面積S最小,并求此時S的最小值.
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【題目】已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關于x的方程恰有5個相異的實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線與曲線,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)寫出曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,已知與,的公共點分別為,,,當時,求的值.
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,離心率為,過F1的直線l與橢圓C交于M,N兩點,且△MNF2的周長為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+b與橢圓C分別交于A,B兩點,且OA⊥OB,試問點O到直線AB的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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