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【題目】已知函數.

1)求函數的單調區(qū)間;

2)當函數與函數圖象的公切線l經過坐標原點時,求實數a的取值集合;

3)證明:當時,函數有兩個零點,,且滿足.

【答案】1)單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(2;(3)見解析

【解析】

1)利用導數求解單調性;(2)先求出公切線的方程,再探討的取值范圍;(3)先利用導數研究函數的單調性,證明零點個數.再使用函數思想,構造函數,利用導數研究函數單調性解決不等式問題.

1)對求導,得

,解得,

時,,單調遞增.

時,,單調遞減.

2)設公切線與函數的切點為,,則公切線的斜率,

公切線的方程為:,將原點坐標代入,得,解得

公切線的方程為:,將它與聯(lián)立,整理得

,對之求導得:,令,解得

時,,單調遞減,值域為,

時,,單調遞增,值域為

由于直線與函數相切,即只有一個公共點,因此.

故實數的取值集合為

3)證明:,要證有兩個零點,只要證有兩個零點即可.1,

時函數的一個零點.

求導得:,令,解得.當時,,單調遞增;

時,,單調遞減.當時,取最小值,,

,必定存在使得二次函數,

.因此在區(qū)間上必定存在的一個零點.

綜上所述,有兩個零點,一個是,另一個在區(qū)間上.

下面證明

由上面步驟知有兩個零點,一個是,另一個在區(qū)間上.

不妨設,下面證明即可.

,對之求導得,

a)在定義域內單調遞減,,即

證明完畢.

練習冊系列答案
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周光照量(單位:小時)

光照控制儀最多可運行臺數

3

2

1

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