【題目】已知函數.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)當函數與函數圖象的公切線l經過坐標原點時,求實數a的取值集合;
(3)證明:當時,函數有兩個零點,,且滿足.
【答案】(1)單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(2);(3)見解析
【解析】
(1)利用導數求解單調性;(2)先求出公切線的方程,再探討的取值范圍;(3)先利用導數研究函數的單調性,證明零點個數.再使用函數思想,構造函數,利用導數研究函數單調性解決不等式問題.
(1)對求導,得,
令,解得,
當時,,單調遞增.
當,時,,單調遞減.
(2)設公切線與函數的切點為,,則公切線的斜率,
公切線的方程為:,將原點坐標代入,得,解得.
公切線的方程為:,將它與聯(lián)立,整理得.
令,對之求導得:,令,解得.
當時,,單調遞減,值域為,
當時,,單調遞增,值域為,
由于直線與函數相切,即只有一個公共點,因此.
故實數的取值集合為.
(3)證明:,要證有兩個零點,只要證有兩個零點即可.(1),
即時函數的一個零點.
對求導得:,令,解得.當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減.當時,取最小值,,
,必定存在使得二次函數,
即.因此在區(qū)間上必定存在的一個零點.
綜上所述,有兩個零點,一個是,另一個在區(qū)間上.
下面證明.
由上面步驟知有兩個零點,一個是,另一個在區(qū)間上.
不妨設,則,下面證明即可.
令,對之求導得,
故(a)在定義域內單調遞減,,即.
證明完畢.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》,是屮國古代數學名著,程大位著.書中有如下問題:“今有五人均銀四十兩,甲得十兩四錢,戊得五兩六錢.問:次第均之,乙丙丁各該若干?”意思是:有5人分40兩銀子,甲分10兩4錢,戊分5兩6錢,且相鄰兩項差相等,則乙丙丁各分幾兩幾錢?(注:1兩等于10錢)( )
A.乙分8兩,丙分8兩,丁分8兩B.乙分8兩2錢,丙分8兩,丁分7兩8錢
C.乙分9兩2錢,丙分8兩,丁分6兩8錢D.乙分9兩,丙分8兩,丁分7兩
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示,該地周光照量(小時)都在30小時以上,其中不足50小時的周數有5周,不低于50小時且不超過70小時的周數有35周,超過70小時的周數有10周.根據統(tǒng)計,該基地的西紅柿增加量(百斤)與使用某種液體肥料(千克)之間對應數據為如圖所示的折線圖.
(1)依據數據的折線圖,是否可用線性回歸模型擬合與的關系?請計算相關系數并加以說明(精確到0.01).(若,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合)
(2)蔬菜大棚對光照要求較大,某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量限制,并有如下關系:
周光照量(單位:小時) | |||
光照控制儀最多可運行臺數 | 3 | 2 | 1 |
若某臺光照控制儀運行,則該臺光照控制儀周利潤為3000元;若某臺光照控制儀未運行,則該臺光照控制儀周虧損1000元.若商家安裝了3臺光照控制儀,求商家在過去50周周總利潤的平均值.
附:相關系數公式,參考數據,.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線與曲線,(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)寫出曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,已知與,的公共點分別為,,,當時,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】我國古代名著《張丘建算經》中記載:“今有方錐,下廣二丈,高三丈.欲斬末為方亭,令上方六尺.問:斬高幾何?”大致意思是:有一個正四棱錐下底邊長為二丈,高三丈,現從上面截去一段,使之成為正四棱臺,且正四棱臺的上底邊長為六尺,則截去的正四棱錐的高是多少.如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺的體積,則該正四棱臺的體積是(注:1丈尺)( )
A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側面,已知,,,點E是棱的中點.
(1)求證:平面ABC;
(2)在棱CA上是否存在一點M,使得EM與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com