【題目】已知函數(shù).

() 若函數(shù)有零點(diǎn), 求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ) 證明: 當(dāng)時, .

【答案】(I);(II)詳見解析.

【解析】試題分析:(I)對函數(shù)求導(dǎo),可得函數(shù)單調(diào)性,并求得函數(shù)的最小值,若函數(shù)有零點(diǎn),函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零,解不等式可得的范圍;()代入不等式化簡為,可構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可知在 條件下 最小值為最大值為.可證命題.

試題解析:

()法1: 函數(shù)的定義域為.

, 得.

因為,則時, ;時, .

所以函數(shù)上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時, .

當(dāng), 即時, ,函數(shù)有零點(diǎn).

實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法2:函數(shù)的定義域為.

, 得.

,則.

當(dāng)時, ; 當(dāng)時, .

所以函數(shù)上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

時, 函數(shù)取得最大值.

因而函數(shù)有零點(diǎn), 則.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ) 要證明當(dāng)時, ,

即證明當(dāng)時, , 即.

, 則.

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

所以函數(shù)上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時, .

于是,當(dāng)時,

, 則.

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

所以函數(shù)上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時, .

于是, 當(dāng)時,

顯然, 不等式①、②中的等號不能同時成立.

故當(dāng)時, .

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