【題目】已知橢圓Cab>0)的兩個焦點分別為F1,F2,離心率為,過F1的直線l與橢C交于M,N兩點,且MNF2的周長為8.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線ykxb與橢圓C分別交于A,B兩點,且OAOB,試問點O到直線AB的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.

【答案】(1); (2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)三角形周長為8,結(jié)合橢圓的定義可知利用,即可求得的值,求得橢圓方程;(2)分類討論當直線斜率斜存在時,聯(lián)立,得到關于的一元二次方程,利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算,求得的關系,利用點到直線的距離公式即可求得點到直線的距離是否為定值.

(1)由題意知,4a=8,則a=2,

由橢圓離心率,則b2=3.

∴橢圓C的方程

(2)由題意,當直線AB的斜率不存在,此時可設A(x0,x0),B(x0,-x0).

又A,B兩點在橢圓C上,

∴點O到直線AB的距離,

當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+b.設A(x1,y1),B(x2,y2

聯(lián)立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.

由已知△>0,x1+x2=,x1x2=,

由OA⊥OB,則x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,

整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,

∴7b2=12(k2+1),滿足△>0.

∴點O到直線AB的距離為定值.

綜上可知:點O到直線AB的距離d=為定值.

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1

2

3

4

1

3

6

_

(2)__________

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