【題目】在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+2n﹣1.
(1)求證:數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列;
(2)記bn=an+(1﹣λ)n,且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項,求λ的取值范圍.
【答案】
(1)證明:∵an+1=3an+2n﹣1,
∴an+1+n+1=3(an+n).
又a1=2,
∴an>0,an+n>0,
故 ,
∴{an+n}是以3為首項,公比為3的等比數(shù)列
(2)由(1)知道 ,bn=an+(1﹣λ)n,
∴ .
∴ .
若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項,則對n∈N*有 恒成立,
即3n+1﹣81≥(n2+n﹣12)λ對n∈N*恒成立
1°當(dāng)n=1時,有 ;
2°當(dāng)n=2時,有T2≥T3λ≥9;
3°當(dāng)n≥4時,n2+n﹣12=(n+4)(n﹣3)>0恒成立,
∴ 對n≥4恒成立.
令 ,則 對n≥4恒成立,
∴ 在n≥4時為單調(diào)遞增數(shù)列.
∴λ≤f(4),即 .
綜上,
【解析】(1)由an+1=3an+2n﹣1,整理得:an+1+n+1=3(an+n).由an+n>0, ,可知{an+n}是以3為首項,公比為3的等比數(shù)列;(2)由(1)求得數(shù)列{bn}通項公式及前n項和為Tn , 由T3為數(shù)列{Tn}中的最小項,則對n∈N*有 恒成立,分類分別求得當(dāng)n=1時和當(dāng)n=2λ的取值范圍, 當(dāng)n≥4時, ,利用做差法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得λ的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式,需要了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能得出正確答案.
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【題目】已知直線l:x+2y-2=0.試求:
(1)點(diǎn)P(-2,-1)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo);
(2)直線l關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱的直線方程.
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【題目】已知函數(shù)(a為常數(shù))的圖象與軸交于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為
(1)求的值及函數(shù)的極值;
(2)證明:當(dāng)時,
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【題目】某校有,,,四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎.在結(jié)果揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四件參賽作品的獲獎情況預(yù)測如下:
甲說:“、同時獲獎”;
乙說:“、不可能同時獲獎”;
丙說:“獲獎”;
丁說:“、至少一件獲獎”.
如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測是正確的,則獲獎的作品是( )
A. 作品與作品 B. 作品與作品 C. 作品與作品 D. 作品與作品
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【題目】已知立方和公式:
求函數(shù)的值域;
求函數(shù),的值域;
若任意實數(shù)x,不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】在下列命題中,①的一個充要條件是與它的共軛復(fù)數(shù)相等:
②利用獨(dú)立性檢驗來考查兩個分類變量,是否有關(guān)系,當(dāng)隨機(jī)變量的觀測值值越大,“與有關(guān)系”成立的可能性越大;
③在回歸分析模型中,若相關(guān)指數(shù)越大,則殘差平方和越小,模型的擬合效果越好;
④若,是兩個相等的實數(shù),則是純虛數(shù);
⑤某校高三共有個班,班有人,班有人,班有人,由此推測各班都超過人,這個推理過程是演繹推理.
其中真命題的序號為__________.
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【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗國家標(biāo)準(zhǔn)新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升,小于80毫克百毫升為飲酒駕車,血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升為醉酒駕車經(jīng)過反復(fù)試驗,喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖:
該函數(shù)近似模型如下:,又已知剛好過1小時時測得酒精含量值為毫克百毫升根據(jù)上述條件,回答以下問題:
試計算喝1瓶啤酒多少小時血液中的酒精含量達(dá)到最大值?最大值是多少?
試計算喝一瓶啤酒后多少小時后才可以駕車?時間以整小時計算
參考數(shù)據(jù):,,,
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A. B. C. D.
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