【題目】如圖,在四棱錐中,等邊三角形所在的平面垂直于底面,, ,是棱的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)判斷直線與平面的是否平行,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) (Ⅲ)直線與平面不平行
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理直接證得結(jié)果;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求解出平面和平面的法向量,然后求出法向量夾角的余弦值,由二面角為銳二面角,可得到所求二面角的余弦值;(Ⅲ)求解平面的法向量,可知與法向量不垂直,由此得到結(jié)論為不平行.
(Ⅰ)證明:平面平面,平面平面,平面且
平面
(Ⅱ)取的中點,連結(jié),
又 四邊形是平行四邊形
平面
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
則,,,,
,
設(shè)為平面的一個法向量,由
得令,得,,所以
因為軸垂直于平面,所以取平面的一個法向量
所以二面角的余弦值為
(Ⅲ)直線與平面不平行
理由如下:,
設(shè)為平面的一個法向量,由
得令,得,所以
所以與不垂直,又因為平面
所以直線與平面不平行
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠C發(fā)生爆炸出現(xiàn)毒氣泄漏,已知毒氣以圓形向外擴(kuò)散,且半徑以每分鐘的速度增大. 一所學(xué)校A,位于工廠C南偏西,且與工廠相距.消防站B位于學(xué)校A的正東方向,且位于工廠C南偏東,立即以每分鐘的速度沿直線趕往工廠C救援,同時學(xué)校組織學(xué)生P從A處沿著南偏東的道路,以每分鐘的速度進(jìn)行安全疏散(與爆炸的時間差忽略不計).要想在消防員趕往工廠的時間內(nèi)(包括消防員到達(dá)工廠的時刻),保證學(xué)生的安全,學(xué)生撤離的速度應(yīng)滿足什么要求?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點,過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點.
(1)證明:當(dāng)取得最小值時,橢圓的離心率為.
(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況,隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員,統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員,其中平均車速超過的有30人,不超過的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為,家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān);
平均車速超過的人數(shù) | 平均車速不超過的人數(shù) | 合計 | |
男性駕駛員 | |||
女性駕駛員 | |||
合計 |
(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體,隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中,駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為,假定抽取的結(jié)果相互獨立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:
臨界值表:
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,對,恒有成立,求實數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點N在曲線上,直線與軸交于點,動點滿足,記點的軌跡為
(1)求的軌跡方程;
(2)若過點的直線與交于兩點,點在直線上 (為坐標(biāo)原點),求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列滿足,,數(shù)列的前項和為滿足.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)若,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若正整數(shù)數(shù)列,滿足:對任意,,都有恒成立,則稱數(shù)列,為“友好數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列,的通項公式分別為,,求證:數(shù)列,為“友好數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列,為“友好數(shù)列”,且,求證:“數(shù)列是等差數(shù)列” 是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.
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