【題目】若正整數(shù)數(shù)列,滿足:對任意,,都有恒成立,則稱數(shù)列,為“友好數(shù)列”.

1)已知數(shù)列,的通項公式分別為,,求證:數(shù)列,為“友好數(shù)列”;

2)已知數(shù)列,為“友好數(shù)列”,且,求證:“數(shù)列是等差數(shù)列” 是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.

【答案】1)證明見詳解;(2)證明見詳解.

【解析】

1)根據(jù)錯位相減法,結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可;

2)根據(jù)充分不必要條件的定義,結(jié)合友好數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可.

1)因為數(shù)列,的通項公式分別為,,

所以有

所以有,得:

所以,

,因此有對任意,,都有

恒成立,所以數(shù)列,為“友好數(shù)列”;

2)因為數(shù)列,為“友好數(shù)列”,所以對任意,,都有

恒成立,

因此有,得:

,

若數(shù)列是等差數(shù)列,則有,已知數(shù)列是正整數(shù)數(shù)列,因此有

,因此數(shù)列是等比數(shù)列;

若數(shù)列是等比數(shù)列,設(shè)公比為,則有,顯然只有當(dāng)時,數(shù)列是等差數(shù)列,因此由數(shù)列是等差數(shù)列能推出數(shù)列是等比數(shù)列,但由數(shù)列是等比數(shù)列不一定能推出數(shù)列是等差數(shù)列,因此“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,等邊三角形所在的平面垂直于底面,, ,是棱的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)判斷直線與平面的是否平行,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了解家長對學(xué)校食堂的滿意情況,分別從高一、高二年級隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評分,其頻數(shù)分布表如下:

滿意度評分分組

合計

高一

1

3

6

6

4

20

高二

2

6

5

5

2

20

根據(jù)評分,將家長的滿意度從低到高分為三個等級:

滿意度評分

評分70

70評分90

評分90

滿意度等級

不滿意

滿意

非常滿意

假設(shè)兩個年級家長的評價結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機(jī)抽取1名家長,記事件:“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”,則事件發(fā)生的概率為__________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本題滿分13分)

某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)為元(為常數(shù),且,設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為元(),根據(jù)市場調(diào)查,銷售量成反比,當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為30元時,日銷售量為100公斤.

)求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數(shù)關(guān)系式;

)若,當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為多少元時,該工廠的利潤最大,并求最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B. 已知橢圓的離心率為,A的坐標(biāo)為,.

I)求橢圓的方程;

II)設(shè)直線l 與橢圓在第一象限的交點為Pl與直線AB交于點Q. (O為原點) ,k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年10月28日,重慶公交車墜江事件震驚全國,也引發(fā)了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學(xué)習(xí)了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行了相關(guān)的問卷調(diào)查,并將得到的分?jǐn)?shù)整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.

(Ⅰ)求得分在上的頻率;

(Ⅱ)求社區(qū)居民問卷調(diào)查的平均得分的估計值;(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)

(Ⅲ)以頻率估計概率,若在全部參與學(xué)習(xí)的居民中隨機(jī)抽取5人參加問卷調(diào)查,記得分在間的人數(shù)為,求的分布列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年10月28日,重慶公交車墜江事件震驚全國,也引發(fā)了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學(xué)習(xí)了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行了相關(guān)的問卷調(diào)查,并將得到的分?jǐn)?shù)整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.

(1)求得分在上的頻率;

(2)求社區(qū)居民問卷調(diào)查的平均得分的估計值;(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)

(3)由于部分居民認(rèn)為此項學(xué)習(xí)不具有必要性,社區(qū)委員會對社區(qū)居民的學(xué)習(xí)態(tài)度作調(diào)查,所得結(jié)果統(tǒng)計如下:(表中數(shù)據(jù)單位:人)

認(rèn)為此項學(xué)習(xí)十分必要

認(rèn)為此項學(xué)習(xí)不必要

50歲以上

400

600

50歲及50歲以下

800

200

根據(jù)上述數(shù)據(jù),計算是否有的把握認(rèn)為居民的學(xué)習(xí)態(tài)度與年齡相關(guān).

附:,其中.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)

1)若函數(shù)上遞增,在上遞減,求實數(shù)的值.

2))討論上的單調(diào)性;

3)若方程有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合,,分別從集合中隨機(jī)取一個元素.落在直線為事件,若事件的概率最大,則的取值可能是(

A.B.C.D.

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