【題目】已知拋物線與直線lykx1無交點,設(shè)點P為直線l上的動點,過P作拋物線C的兩條切線,A,B為切點.

1)證明:直線AB恒過定點Q

2)試求PAB面積的最小值.

【答案】1)見解析; 2.

【解析】

1)借助導數(shù),可求得在A,B兩點的切線方程PAPB,由于P點在兩條切線上,結(jié)合方程,可得直線ABkx01+yxx0,可得定點.

(2)將直線AB與拋物線聯(lián)立,利用弦長公式,點到直線距離公式表示三角形的底和高,繼而表示面積,配方,求解最小值,即可.

1)由求導得yx,

設(shè)Ax1y1),Bx2,y2),

其中

kPAx1,

PAyy1x1xx1),

設(shè)Px0kx01),

代入PA直線方程得kx01+y1x1x0,

PB直線方程同理,

代入可得kx01+y2x2x0

所以直線ABkx01+yxx0,

x0kx)﹣1+y0,所以過定點(k,1);

2)直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,

得到x22kx+20

由于△<0,k22

AByxx0kx0+1代入,

所以,

設(shè)點P到直線AB的距離是d,

所以,

所以面積最小值為

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