【題目】已知函數(shù).

（1）若，證明：曲線在處的切線與直線垂直；

（2）若，當(dāng)時，證明：.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系可得垂直；

（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)確定最值進(jìn)行求解.

（1）依題意，，故；

則，而直線的斜率為，故兩條直線的斜率之積為；

即曲線在處的切線與直線垂直.

（2）要證，即證，即證；

當(dāng)時，令，

求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令；

當(dāng)時，，所以；

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以其最小值為，

最大值為，所以下面判斷與的大小，即判斷與的大小，

其中，令，，令，

則；因?yàn)?/span>，所以，單調(diào)遞增；

因?yàn)?/span>，，

故存在，使得，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，

所以時，；即，也即，

綜上所述，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為：．

（Ⅰ）求直線與曲線公共點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與直線l：y＝kx﹣1無交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．

（1）證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；

（2）試求△PAB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

頻數(shù)

1

3

2

4

9

26

5

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

頻數(shù)

1

5

13

10

16

5

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過以下4個不同的點(diǎn)：.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先將圓向左平移個單位后，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都伸長到原來的倍得到圓，若兩個點(diǎn)分別在直線和上，為圓上任意一點(diǎn)，且（為常數(shù)），證明直線過圓的圓心，并求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，變?yōu)?/span>，且平面平面.

（1）求三棱錐的體積；

（2）求證：；

（3）求證：平面平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線m：．

（1）求C和l的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)m與C和l分別交于異于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實(shí)驗(yàn)來估計的值：先請120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個x，y都小于1的正實(shí)數(shù)對，再統(tǒng)計其中x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)m，最后根據(jù)統(tǒng)計個數(shù)m估計的值．如果統(tǒng)計結(jié)果是，那么可以估計的值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：橢圓的離心率為，且，過左焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）當(dāng)面積最大時，求直線的斜率.

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同步練習(xí)冊答案