Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過以下4個(gè)不同的點(diǎn)：.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先將圓向左平移個(gè)單位后，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都伸長(zhǎng)到原來的倍得到圓，若兩個(gè)點(diǎn)分別在直線和上，為圓上任意一點(diǎn)，且（為常數(shù)），證明直線過圓的圓心，并求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，的值為

【解析】

（1）必在線段的中垂線上，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入待定系數(shù)即可得解.

（2）通過平移伸縮可得圓：，設(shè)，可得：

，代入

，由的任意性可得解.

（1）由已知，在圓上得，必在線段的中垂線上，故可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

再將的坐標(biāo)代入方程得

聯(lián)立解得，，所以圓方程為

經(jīng)檢驗(yàn)得，的坐標(biāo)也滿足，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）將圓向左平移個(gè)單位后得到曲線

再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都伸長(zhǎng)到原來的倍得到的圓的方程為

設(shè)，則

因?yàn)?/span>，所以，且

所以

化簡(jiǎn)得，

把代入上式得，

因?yàn)?/span>是圓上任意一點(diǎn)，所以

解得，或

所以或

所以直線的方程為或

即直線過圓的圓心，常數(shù)的值為