Question

【題目】[選修4-1：幾何證明選講]
如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F．

（1）證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；
（2）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DF⊥CE，

∴Rt△DFC∽Rt△EDC，

∴ ，

∵DE=DG，CD=BC，

∴ ，

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，

∴△GDF∽△BCF，

∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，

∴∠GFB+∠GCB=180°，

∴B，C，G，F(xiàn)四點共圓．

（2）

∵E為AD中點，AB=1，∴DG=CG=DE= ，

∴在Rt△DFC中，GF= CD=GC，連接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，

∴S四邊形BCGF=2S△BCG=2× ×1× = ．

【解析】（1）證明B，C，G，F(xiàn)四點共圓可證明四邊形BCGF對角互補，由已知條件可知∠BCD=90°，因此問題可轉(zhuǎn)化為證明∠GFB=90°；（2）在Rt△DFC中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，則S四邊形BCGF=2S△BCG ， 據(jù)此解答．；本題考查四點共圓的判斷，主要根據(jù)對角互補進行判斷，注意三角形相似和全等性質(zhì)的應用．