Question

【題目】對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．

（Ⅰ）已知數(shù)列：1，m+1，m2是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在首項(xiàng)為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和滿足

？若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得和，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)公差為，則，得對(duì)均成立，即，即可得到結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且，得到，且，得到“”和“”為最小項(xiàng)，又由又因?yàn)?/span>不是“K數(shù)列”， 且“”為最小項(xiàng)，得出，所以或，分類討論即可得到結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，

，②

解①得 ；

解②得 或

所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為，則，

由 ，得 ，

由題意，得對(duì)均成立，

即．

當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，

所以，與矛盾，

故這樣的等差數(shù)列不存在．

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的公比為，則，

因?yàn)?/span>的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且，

所以，且.

因?yàn)?/span>，

所以在中，“”為最小項(xiàng)．

同理，在中，“”為最小項(xiàng)．

由為“K數(shù)列”，只需， 即 ，

又因?yàn)?/span>不是“K數(shù)列”， 且“”為最小項(xiàng)，所以， 即 ，

由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得 ，

所以或.

當(dāng)時(shí)，， 則，

令，則，

又 ，

所以為遞增數(shù)列，即 ，

所以．

因?yàn)?/span>，

所以對(duì)任意的，都有，

即數(shù)列為“K數(shù)列”．

當(dāng)時(shí)，，則．因?yàn)?/span>，

所以數(shù)列不是“K數(shù)列”．

綜上：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為“K數(shù)列”，

當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是“K數(shù)列” ．