【題目】已知點(diǎn),橢圓 的離心率為是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】試題分析:(1)利用離心率求出c,再由離心率求出a,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意,設(shè)l:y=kx-2,聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出P、Q的橫坐標(biāo),代入弦長(zhǎng)公式求得|PQ|,再由點(diǎn)到直線的距離求O到PQ的距離,帶入三角形面積公式,換元后利用均值不等式求最值,從而求解.
試題解析:(1)設(shè)F(c,0),由條件知, ,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程為.
(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意,
故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入中,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時(shí),
由根與系數(shù)的關(guān)系得:
x1+x2=,x1x2=.
從而|PQ|=|x1-x2|=.
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=.
所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=.
設(shè)=t,則t>0,S△OPQ=.
因?yàn)?/span>t+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,
即k=時(shí)等號(hào)成立,且滿足Δ>0.
所以,當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),l的方程為. 或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓: ()的左右焦點(diǎn)分別為, ,下頂點(diǎn)為,直線的方程為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn), 到直線的距離為,且三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓相切,過(guò)焦點(diǎn), 分別作, ,垂足分別為, ,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中, , , , , , ,且平面.
(1)設(shè)平面平面,求證: .
(2)求證: .
(3)設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓.
(1)若圓的切線在軸和軸上的截距相等,求此切線的方程.
(2)從圓外一點(diǎn)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn),且有,求使得取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定直線l:x=的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(,0)之比為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)(不在x軸上),過(guò)原點(diǎn)O作直線AB,交(1)中軌跡C于點(diǎn)A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問(wèn)k1·k2是否為定值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,平面,,,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,.
(1)證明:平面;
(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若不等式ax2+5x﹣2>0的解集是 ,
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求不等式ax2﹣5x+a2﹣1>0的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于,若數(shù)列滿足,則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項(xiàng)為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項(xiàng)和滿足
?若存在,求出的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為,最小距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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