Question

【題目】已知，，其中、均為實(shí)數(shù).

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，若，在區(qū)間上總存在、使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（Ⅱ）求得，分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由題意可知函數(shù)的極值點(diǎn)必在區(qū)間，且在上的值域包含于的值域，由此可得出實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）由題意可知，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以；

（Ⅱ）由題意可知，

當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上總存在、使得，

那么由題意知的極值點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi)，即，得，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由題意得在上的值域包含于的值域，

所以，整理得，記，

則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，

即當(dāng)時(shí)，成立，即成立，所以.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.