【題目】已知函數(shù) f(x) = -ax(a > 0).

(1) 當(dāng) a = 1 時,求證:對于任意 x > 0,都有 f(x) > 0 成立;

(2) 若函數(shù) y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 兩處取得極值,求證:< ln a.

【答案】(1)見解析; (2)見解析.

【解析】

1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最值即可證得,

2)根據(jù)題意可得x1x2是方程fx)=0的兩個實數(shù)根,不妨設(shè)x1x2,可以判斷a1,分別根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得fx1)=fx2)=0,可得aa0,即可得到a,則f),設(shè)t0,再根據(jù)函數(shù)gt)=(2tetet+1,求導(dǎo),借助于(1)的結(jié)論即可證明.

1)當(dāng)a1時,fx)=exx2x,

fx)=exx1,

fx)=ex10,(x0),

fx)=exx1單調(diào)遞增,

fx)>f0)=0,

fx)單調(diào)遞增,

fx)>f0)=10,

故對于任意x0,都有fx)>0成立;

2)∵函數(shù)yfx)恰好在xx1xx2兩處取得極值

x1,x2是方程fx)=0的兩個實數(shù)根,不妨設(shè)x1x2,

fx)=exaxafx)=exa,

當(dāng)a≤0時,fx)>0恒成立,∴fx)單調(diào)遞增,fx)=0至多有一個實數(shù)解,不符合題意,

當(dāng)a0時,fx)<0的解集為(﹣∞,lna),fx)>0的解集為(lna+∞),

fx)在(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,

fxminflna)=﹣alna,

由題意,應(yīng)有flna)=﹣alna0,解得a1,

此時f(﹣10,

∴存在x1∈(﹣1lna)使得fx1)=0,

易知當(dāng)時,f(x).

∴存在x2∈(lna,)使得fx2)=0,

a1滿足題意,

fx1)=fx2)=0,

aa0

a,

fa),

設(shè)t0

et,

設(shè)gt)=(2tetet+1,

gt)=2t+1etet,

由(1)可知,gt)=2t+1etet0恒成立,

gt)單調(diào)遞減,

gt)<g0)=0

f)<0,

lna

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量(單位:瓶)為多少時?的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?

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(1)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率;

(2)設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】圓錐(其中為頂點,為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是,則圓錐與它外接球(即頂點在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為( )

A. B. C. D.

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【題目】在 △ABC 中,設(shè) a,b,c 分別是角 A,B,C 的對邊,已知向量 = (a,sinC-sinB),= (b + c,sinA + sinB),且

(1) 求角 C 的大小

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B.函數(shù)圖像關(guān)于點對稱

C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到

D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

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A.各校人學(xué)統(tǒng)一測試的成績都在分以上

B.高考平均總分超過分的學(xué)校有

C.學(xué)校成績出現(xiàn)負(fù)增幅現(xiàn)象

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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