【題目】已知函數(shù),其中

如果曲線x軸相切,求a的值;

,證明:;

如果函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)詳見解析(Ⅲ)(-ln2,1

【解析】

(Ⅰ)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出,

(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)Fx=fx-x=lnx-2x+ln2e,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及最值得關(guān)系,即可證明

(Ⅲ)先求出函數(shù)gx)在(1e)上是單調(diào)函數(shù)a的范圍即可,求導(dǎo),分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值即可.

解:(I)求導(dǎo).得f′(x=-1=

∵曲線y=fx)與x軸相切,∴此切線的斜率為0

f′(x=0,解得x=1,

又由曲線y=x)與x軸相切,得f1=-1+a=0

解得a=1

II)證明:由題意,fx=lnx-x+ln2e,

令函數(shù)Fx=fx-x=lnx-2x+ln2e

求導(dǎo),得F′(x=-2=

F′(x=0,得x=,

當(dāng)x變化時(shí),F′(x)與Fx)的變化情況如下表所示:

x

0,

,+∞)

F′(x

+

0

-

Fx

極大值

∴函數(shù)Fx)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=時(shí),Fxmax=F=ln-1+ln2e=0,

∴任給x∈(0,+∞),Fx=fx-x≤0,即fx)≤x,

(Ⅲ)由題意可得,gx=,

g′(x=

當(dāng)g′(x)≥0時(shí),在(1,e)上恒成立,函數(shù)gx)單調(diào)遞增,

當(dāng)g′(x)≤0時(shí),在(1e)上恒成立,函數(shù)gx)單調(diào)遞減,

x-2lnx+1-2a≥0在(1,e)上恒成立,或x-2lnx+1-2a≤0在(1,e)上恒成立,

2ax-2lnx+1在(1e)上恒成立,或2ax-2lnx+1在(1e)上恒成立,

hx=x-2lnx+1

h′(x=1-=,

h′(x=0,解得x=2,

當(dāng)x∈(1,2)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)hx)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(2,e)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)hx)單調(diào)遞增,

h1=2,he=e-2+1=e-1,

hxmax=h1=2

hxmin=h2=3-2ln2,

2a≥2或2a≤3-2ln2,

a≥1或a-ln2,

∵函數(shù)在區(qū)間(1e)上不是單調(diào)函數(shù),

-ln2a1,

a的取值范圍為(-ln2,1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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支持

不支持

合計(jì)

男性市民

女性市民

合計(jì)

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;

(2)利用(1)完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:

(i)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān);

(ii)已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教師,現(xiàn)從這位退休老人中隨機(jī)抽取人,求至多有位老師的概率.

附:,其中.

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【題目】在 △ABC 中,設(shè) a,b,c 分別是角 A,B,C 的對(duì)邊,已知向量 = (a,sinC-sinB),= (b + c,sinA + sinB),且

(1) 求角 C 的大小

(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周長(zhǎng)的取值范圍.

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【題目】某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c(x)=1200+ x3(萬(wàn)元),已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬(wàn)元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:p2= ,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元.

(1)設(shè)產(chǎn)量為x件時(shí),總利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)(萬(wàn)元),求L(x)的解析式;

(2)產(chǎn)量x定為多少件時(shí)總利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)最大?并求最大值(精確到1萬(wàn)元).

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【題目】已知,其中、均為實(shí)數(shù).

)若,求的取值范圍;

)設(shè),若,在區(qū)間上總存在、使得成立,求的取值范圍.

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(Ⅰ)分別估算參加這次知識(shí)競(jìng)賽的農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)的平均成績(jī);

(Ⅱ)完成下面列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)的學(xué)生對(duì)交通安全知識(shí)的掌握情況有顯著差異”?

成績(jī)小于60分人數(shù)

成績(jī)不小于60分人數(shù)

合計(jì)

農(nóng)村中學(xué)

城鎮(zhèn)中學(xué)

合計(jì)

附:

臨界值表:

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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