Question

【題目】二次函數圖像與軸交于，兩點，交直線于，兩點，經過三點，，作圓．

（1）求證：當變化時，圓的圓心在一條定直線上；

（2）求證：圓經過除原點外的一個定點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）聯立，求得點，聯立與求得點，設圓C的方程為，根據點到圓心距離相等求得圓心坐標x0與y0的聯系，消參即可求得定直線

（2）由（1）知，設圓C過定點（m，n），則m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理成關于b的一次函數形式，根據恒成立問題聯立方程求解即可

解：（1）在方程中．令，易得

設圓C的方程為

則，

故經過三點O，A，B的圓C的方程為x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，

設圓C的圓心坐標為（x0，y0），

則，∴y0=x0+1，

這說明當b變化時，（1）中的圓C的圓心在定直線y=x+1上

（2）設圓C過定點（m，n），則m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，

它對任意b≠0恒成立，∴

故當b變化時，（1）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標為（﹣1，1）．