【題目】設(shè)橢圓()的離心率為,圓軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.

【答案】(1); (2)見解析.

【解析】

(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計算A的坐標(biāo),計算切線與橢圓交點坐標(biāo),代入橢圓方程,計算參數(shù),即可。(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可。

(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,

∴橢圓的方程可設(shè)為.

易求得,∴點在橢圓上,∴,

解得,∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率不存在時,不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,

,∴.

當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率存在時,可設(shè)切線的方程為,,

,即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得,

,得.

,

.

綜上所述,圓上任意一點處的切線交橢圓于點,都有.

中,由相似得,為定值.

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