Question

【題目】定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0， ）
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)．
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2 ，
函數(shù)的圖象為開口向下、頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線．
∵函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
令g（x）=loga（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
則有g(shù)（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，
即loga3＞﹣2，∴3＜ ，解得- ＜a＜ ，又0＜a＜1，∴0＜a＜ ，
故答案為：（0， ）．

令x=﹣1，求出f（1），可得函數(shù)f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，畫出圖形，根據(jù)函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．