Question

【題目】已知拋物線，過點的直線與拋物線相切，設(shè)第一象限的切點為.

（Ⅰ）證明：點在軸上的射影為焦點；

（Ⅱ）若過點的直線與拋物線相交于兩點，圓是以線段為直徑的圓且過點，求直線與圓的方程.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)過點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程，根據(jù)判別式為零得到，當(dāng)時可求得點坐標(biāo)為，而焦點為，故結(jié)論成立．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程．由圓是以線段為直徑的圓且過點可得，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出或，進而可得所求方程．

（Ⅰ）由題意知可設(shè)過點的直線方程為，

由消去整理得，

又因為直線與拋物線相切，

所以，解得．

當(dāng)時，直線方程為，可得點坐標(biāo)為，

又因為焦點，

所以點在軸上的射影為焦點．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，

由，

其中恒成立.

設(shè)，，

則，

所以，．

由于圓是以線段為直徑的圓過點，則，

所以

所以，

解得或．

當(dāng)時，直線的方程為，圓的方程為；

當(dāng)時，直線的方程為，圓的方程為．