Question

【題目】設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設(shè)點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程；

(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理和向量的坐標(biāo)運算法則求得直線的斜率即可確定直線方程；

(Ⅲ)由題意結(jié)合點差法得到的表達式，結(jié)合其表達式求解取值范圍即可.

(Ⅰ)拋物線的焦點坐標(biāo)為，故，

結(jié)合可得：，故橢圓方程為：.

(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，設(shè)，

假設(shè)存在滿足題意的直線方程：，

與橢圓方程聯(lián)立可得：，

則，

則：

，

結(jié)合題意和韋達定理有：，

解得：，即存在滿足題意的直線方程：.

(Ⅲ)設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，

由于：，

兩式作差整理變形可得：，

即：. ①

又 ②

③

①×②可得： ④

④代入③可得： ⑤

④⑤代入①整理可得：，

，據(jù)此可得：，

從而.