Question

【題目】已知函數(shù)，，.

(1)當(dāng)時(shí)，若對任意均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)設(shè)直線與曲線和曲線相切，切點(diǎn)分別為，，其中.

①求證：；

②當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①證明見解析；②

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得不等式，由于，則，

利用導(dǎo)數(shù)法，分別函數(shù)的最小值，的最大值，從而可確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）①根據(jù)題意，由函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)與切點(diǎn)分別給出切線的方程，由于切線相同，則其斜率與在軸上的截距相等，建立方程組，由，從而可證；②將不等式，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性求其最大值，從而問題得于解決.

試題解析：（Ⅰ）:當(dāng)時(shí)：

由知：

依題意：對恒成立

設(shè)

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

設(shè)

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

故：實(shí)數(shù)k的取值范圍是

（Ⅱ）由已知：，

①：由得：

由得：

故

，，，故：

②：由①知：，且

由得：，

設(shè)

在為減函數(shù)，

由得：

又