【題目】設橢圓為左右焦點,為短軸端點,長軸長為4,焦距為,且,的面積為.

(Ⅰ)求橢圓的方程

(Ⅱ)設動直線橢圓有且僅有一個公共點,且與直線相交于點.試探究:在坐標平面內是否存在定點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在求出點的坐標,若不存在.請說明理由.

【答案】(1) (2)存在定點P(1,0)

【解析】

(Ⅰ)由橢圓長軸長為4,焦距為2c,且bc,△BF1F2的面積為,列方程組,求出a,bc,得橢圓方程.(Ⅱ)將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,由直線與橢圓有且只有一個公共點,求出M,由,得N4,4k+m).假設存在定點P滿足條件,由圖形對稱性知,點P必在x軸上.設Px1,0),由,得(4x14+x124x1+30,由此可求出滿足條件的定點.

(1)由題意知,解得:,故橢圓C的方程是

(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因為動直線l與橢圓C有且只有一個公共點M(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,

即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡得4k2m2+3=0.(*)

此時x0=-=-y0kx0m,所以M(-

N(4,4km).

假設平面內存在定點P滿足條件,由圖形對稱性知,點P必在x軸上.

P(x1,0),則對滿足(*)式的m、k恒成立.

因為=(-=(4-x1,4km),由

得--4x1x+3=0,

整理,得(4x1-4)x-4x1+3=0.(**)

由于(**)式對滿足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.

故存在定點P(1,0),使得以MN為直徑的圓恒過點M.

練習冊系列答案
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45歲以下

45歲以上

總計

不支持

支持

總計

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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