Question

【題目】已知菱形，在軸上且， （，）．

（Ⅰ）求點軌跡的方程；

（Ⅱ）延長交軌跡于點，軌跡在點處的切線與直線交于點，試判斷以為圓心，線段為半徑的圓與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)（）；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意可知對角線與垂直平分，由題意結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得點到直線的距離與到點的距離相等，結(jié)合幾何關(guān)系可知點軌跡方程為（）.

（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立直線AD是方程與拋物線方程可得,由題意結(jié)合韋達定理可得，，，利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程可得在點處的切線方程為：，且直線的方程為，據(jù)此可得交點坐標(biāo)，即，計算可得點到直線的距離，則圓與直線相切.

試題解析：

（Ⅰ）因為是菱形，所以對角線與垂直平分，

因為在軸上，所以與直線垂直，

所以點到直線的距離與到點的距離相等，

所以點軌跡為拋物線（不包含頂點），

其軌跡方程為（）.

（Ⅱ）設(shè)，，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得：

所以，．

因為菱形，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以

由可得

所以在點處的切線方程的斜率為

則切線的方程為：，即……①

因為，，所以，

又中點，所以直線的方程為 ②

聯(lián)立①②可得，即點，又，所以

所以，點到直線的距離

所以圓與直線相切.