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【題目】已知函數f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0).

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若f(x)≥﹣+ax+b恒成立,求a時,實數b的最大值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)求出并對其因式分解,對1的大小分類討論,由的正負情況判斷的單調性。

(2)把f(x)≥﹣+ax+b恒成立轉化成b≤﹣alnx+x恒成立,令g(x)=﹣alnx+x,求出g′(x)=,判斷g(x)的單調性,從而求得g(x)min=﹣alna+a,令h(a)=﹣alna+a,求得h′(a)=﹣lna>0,即可求得h(a)min,問題得解。

(1)∵f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0),定義域為(0,+∞),

,x>0

令f′(x)=0,則x1=a,x2=1

①當0<a<1時,令f′(x)>0,則a<x<1;

令f′(x)<0,則0<x<a,或x>1,

∴f(x)在(0,a),(1,+∞)上單調遞減;在(a,1)上單調遞增;

②當a=1時,f′(x)≤0,且僅在x=1時,f′(x)=0,

∴f(x)在(0,+∞)單調遞減;

③當a>1時,令f′(x)>0,則1<x<a;

令f′(x)<0,則0<x<1,或x>a,

∴在(0,1 ),(a,+∞)上單調遞減;在(1,a)上單調遞增.

綜上所述,

當0<a<1時,f(x)在(0,a),(1,+∞)上單調遞減;在(a,1)上單調遞增;

當a=1時,f(x)在(0,+∞)上單調遞減;

當a>1時,f(x)在(0,1),(a,+∞)上單調遞減;在(1,a)上單調遞增.

(2)∵f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0)

恒成立,

∴b≤﹣alnx+x恒成立

令g(x)=﹣alnx+x,x>0,

即b≤g(x)min,

∵g′(x)=,(a>0),

∴g(x) 在(0,a)單調遞減,(a,+∞) 單調遞增;

g(x)min=g(a)=﹣alna+a

∴b≤﹣alna+a,a∈[,1],

令h(a)=﹣alna+a

∴h′(a)=﹣lna>0,∴h(a)單調遞增,

∴h(a)min=h()=(1+ln2),

即b的最大值為

練習冊系列答案
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