Question

【題目】如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.

（1）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn),在面內(nèi)是否存在點(diǎn),使得平面？若存在,請(qǐng)證明,若不存在,說(shuō)明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在點(diǎn)，為中點(diǎn)；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意可知平面,所以只要構(gòu)造直線即可，連接，取中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線即可；（2）以A為原點(diǎn)，AE，AB，AD所在直線分別為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系,求出平面與平面的法向量，利用空間向量相關(guān)知識(shí)求解即可.

試題解析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則平面

證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)

為的中位線，

又平面平面

平面平面=,平面,

平面

，

又，

平面

所以平面

（2）以A為原點(diǎn)，AE，AB，AD所在直線分別為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，

平面PEA

平面PEA的法向量

另外，，

，,設(shè)平面DPE的法向量，則

，令，得

又為銳二面角,所以二面角的余弦值為