【題目】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和 (n為正整數(shù))。
(1)令,求證數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(2)令,試比較與的大小,并予以證明.
【答案】(1)(2)當(dāng),當(dāng)時(shí).
【解析】
試題分析:(1)已知,一般利用進(jìn)行化簡(jiǎn)條件,當(dāng)時(shí),,,又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,于是.(2)由(1)得,是等差乘等比型,所以其和求法為“錯(cuò)位相減法”, 即得.數(shù)列中比較大小,一般用作差,即,而比較的大小,有兩個(gè)思路,一是數(shù)學(xué)歸納法,二是二項(xiàng)展開式定理.
試題解析:(1)在中,令n=1,可得,即 1
當(dāng)時(shí),, 2
.
又數(shù)列
于是 .6
(2)由(1)得,所以
由①-②得
9
2
于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小
猜想:當(dāng)證明如下:
證法1:(1)當(dāng)n=3時(shí),由猜想顯然成立.
(2)假設(shè)時(shí)猜想成立.即
則時(shí),
所以當(dāng)時(shí)猜想也成立
綜合(1)(2)可知 ,對(duì)一切的正整數(shù),都有
證法2:當(dāng)時(shí)
綜上所述,當(dāng),當(dāng)時(shí) 14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空間中任意放置的棱長(zhǎng)為2的正四面體.下列命題正確的是_________.(寫出所有正確的命題的編號(hào))
①正四面體的主視圖面積可能是;
②正四面體的主視圖面積可能是;
③正四面體的主視圖面積可能是;
④正四面體的主視圖面積可能是2
⑤正四面體的主視圖面積可能是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)于函數(shù),稱向量為函數(shù)的伴隨向量,同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù),試求的伴隨向量;
(Ⅱ)記向量的伴隨函數(shù)為,求當(dāng)且時(shí)的值;
(Ⅲ)由(Ⅰ)中函數(shù)的圖像(縱坐標(biāo)不變)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍,再把整個(gè)圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像。已知 ,問在的圖像上是否存在一點(diǎn),使得.若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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【題目】已知函數(shù),且直線是函數(shù)的一條切線.
(1)求的值;
(2)對(duì)任意的,都存在,使得,求的取值范圍;
(3)已知方程有兩個(gè)根,若,求證: .
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,設(shè)切點(diǎn)為,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅲ)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為: ,當(dāng)時(shí),若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí),試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.若存在,請(qǐng)求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,若且,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅱ)是否存在非零實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(I)求直方圖中的a值;
(II)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定圓,定直線,過的一條動(dòng)直線與直線相交于,與圓相交于,兩點(diǎn),
(1)當(dāng)與垂直時(shí),求出點(diǎn)的坐標(biāo),并證明:過圓心;
(2)當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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