【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)當(dāng)時,過坐標(biāo)原點作曲線的切線,設(shè)切點為,求實數(shù)的值;
(Ⅲ)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為: ,當(dāng)時,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”.當(dāng)時,試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”.若存在,請求出“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)-2;(Ⅱ) ;(Ⅲ)參考解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)數(shù)零點,最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號變化規(guī)律,確定極小值,(Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率等于切點處導(dǎo)數(shù)值,可得關(guān)于的方程,再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性確定方程解的個數(shù),最后根據(jù)估值得方程的解,(Ⅲ)先求切線方程得,再求函數(shù)導(dǎo)數(shù),最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個零點必須相同得“轉(zhuǎn)點”.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時, ,
當(dāng)時;當(dāng)時;當(dāng)時.
所以當(dāng)時, 取到極小值-2.
(Ⅱ),所以切線的斜率,
整理得,顯然是這個方程的解,
又因為在上是增函數(shù),
所以方程有唯一實數(shù)解,故.
(Ⅲ)當(dāng)時,函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為,
設(shè),則, ,
若, 在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,此時;
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.
若時, 在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,此時,所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.
若時,即在上是增函數(shù),
當(dāng)時, ,
當(dāng)時, ,即點為“轉(zhuǎn)點”,
故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點”,且2是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校對高一年級學(xué)生寒假參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進行了統(tǒng)計,隨機抽取了名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求表中的值和頻率分布直方圖中的值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學(xué)生寒假參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù);
(2)如果用分層抽樣的方法從樣本服務(wù)次數(shù)在和的人中共抽取6人,再從這6人中選2人,求2人服務(wù)次數(shù)都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是函數(shù)的一個極值點.
(1)求;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若直線與函數(shù)的圖象有3個交點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不等的根,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若存在,當(dāng)時,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}的前n項和 (n為正整數(shù))。
(1)令,求證數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{}的通項公式;
(2)令,試比較與的大小,并予以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線方程是.
(1)求的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)(其中為的導(dǎo)函數(shù))。證明:對任意,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在四棱柱,側(cè)棱底面, , ,且, , ,側(cè)棱.
(1)若為上一點,試確定點的位置,使平面;
(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)在點點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點和極值;
(3)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在遂寧市中央商務(wù)區(qū)的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、2只白色的乒乓球(其體積,質(zhì)地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:
摸球方法:從袋中隨機摸出3個球,若摸得統(tǒng)一顏色的3個球,攤主送個摸球者10元錢;若摸得非同一顏色的3個球。摸球者付給攤主2元錢。
(1)摸出的3個球中至少有1個白球的概率是多少?
(2)假定一天中有100人次摸獎,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢?
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