【題目】已知,實(shí)數(shù),函數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)令,當(dāng)時(shí),試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),令,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù),均存在實(shí)數(shù),有成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ)見詳解;(Ⅱ)
【解析】分析:(Ⅰ)求導(dǎo),討論參數(shù)的大小,進(jìn)而研究函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,再確定函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),討論的范圍和的大小關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的最值.
詳解:(Ⅰ)
1. ,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減.
2. ,,
此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
令,此時(shí)恒成立. 令得,
函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件,
則在上恒成立.
1. 當(dāng)時(shí),
可化為,
令
問題轉(zhuǎn)化為:對(duì)任意恒成立(*);
又
(1) 時(shí),因?yàn)?/span>,
故,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,,
即,從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,
故,所以(*)成立,滿足題意;
(2) 當(dāng),,
因?yàn)?/span>,所以,記,則當(dāng)時(shí),,
故,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,,
從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,所以,此時(shí)(*)不成立;
所以當(dāng),恒成立時(shí),;
2. 當(dāng)時(shí),
可化為
令,
問題轉(zhuǎn)化為:對(duì)任意的恒成立(**);
又
(1)時(shí),,故,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,,即,
從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,所以,此時(shí)(**)成立;
(2) 當(dāng)時(shí),
①若,必有,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以,即,
從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,所以,此時(shí)(**)不成立;
② 若,則,所以時(shí),
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,,即,
所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,所以,此時(shí)(**)不成立;
所以當(dāng),恒成立時(shí),.
綜上所述,當(dāng),恒成立時(shí),,
從而實(shí)數(shù)的取值集合為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了三款軟件,為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng),這三款軟件的激活碼分別為下面數(shù)學(xué)問題的三個(gè)答案:已知數(shù)列,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,再接下來的三項(xiàng)是,以此類推,試根據(jù)下列條件求出三款軟件的激活碼
(1)A款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第四個(gè)三位數(shù)的項(xiàng)數(shù)的平方
(2)B款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第一個(gè)四位數(shù)及其前所有項(xiàng)的和
(3)C款應(yīng)用軟件的激活碼是滿足如下條件的最小整數(shù):①;②該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪
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【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會(huì)的廣泛關(guān)注,受到了觀眾的普遍好評(píng).假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為.某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾(其中2男2女).
(1)求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率;
(2)設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)若點(diǎn)M,N分別在AB,PC上,且平面,試確定點(diǎn)M,N的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以橢圓的離心率為,以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于.
1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
2過原點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn),是橢圓的右頂點(diǎn),直線分別與軸交于點(diǎn),問:以為直徑的圓是否恒過軸上的定點(diǎn)?若恒過軸上的定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不恒過軸上的定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形,且,平面ABCD,,F是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E為PD的中點(diǎn).
Ⅰ求證:.
Ⅱ若.
求PC與平面BDF所成角的正弦值;
側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點(diǎn)E的一條直線,使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線,都滿足平面BDF,若存在,求出此直線被直線PA、PD所截線段的長(zhǎng)度,若不存在,請(qǐng)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)證明:BE⊥平面D1AE;
(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
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(2)若直線與軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn),P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
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