【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,19)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,∠ABD=CBDAB=BD.

(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角DAEC的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)利用題意證得二面角的平面角為90°,則可得到面面垂直;

(2)利用題意求得兩個半平面的法向量,然后利用二面角的夾角公式可求得二面角DAEC的余弦值為.

試題解析:(1)由題設(shè)可得,,從而.

是直角三角形,所以.

AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.

又由于是正三角形,故.

所以為二面角的平面角.

中,.

,所以,

.

所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.

由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即EDB的中點,得.

.

設(shè)是平面DAE的法向量,則

可取.

設(shè)是平面AEC的法向量,則同理可取.

.

所以二面角D-AE-C的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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(1)請完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”.

對性能滿意

對性能不滿意

合計

購買產(chǎn)品

不購買產(chǎn)品

合計

(2)企業(yè)為了改進(jìn)產(chǎn)品性能,現(xiàn)從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產(chǎn)品進(jìn)行分層抽樣,隨機(jī)抽取6位客戶進(jìn)行座談.座談后安排了抽獎環(huán)節(jié),共有6張獎券,其中一張印有900元字樣,兩張印有600元字樣,三張印有300元字樣,抽到獎券可獲得相應(yīng)獎金.6位客戶每人隨機(jī)抽取一張獎券(不放回),設(shè)6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金為元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:,其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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(1)求證:EF∥平面ABC;

(2)BB1AC

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