Question

【題目】已知數(shù)列中各項都大于1，前項和為，且滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）令，求數(shù)列的前項和；

（3）求使得對所有都成立的最小正整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）首先令，利用,求解數(shù)列的首項，再令，得到，然后兩式相減，得到數(shù)列的遞推公式，可知數(shù)列是等差數(shù)列，寫出通項公式；（2）根據(jù)上一問的結(jié)果，代入可得數(shù)列的通項公式，采用裂項相消法求和；（3）對恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為，從而求得最小正整數(shù).

試題解析：（1）當 時，，

解之得，（舍去）

由 ①

得 ②

②-①得

即

由于，故

可見數(shù)列為等差數(shù)列，公差是3，首項是2，

所以.

（2），

所以

即數(shù)列的前項和.

（3） 使得對所有都成立的必須滿足，即，故滿足要求的最小正整數(shù)為6.