Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析； (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類，當a≤0時，＜0，f（x）為R上的減函數(shù)；當a＞0時，由導(dǎo)函數(shù)為0求得導(dǎo)函數(shù)的零點，再由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）分離參數(shù)t，可得恒成立．令，則問題等價于求解函數(shù)g（x）的最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析求解函數(shù)g（x）的最小值得答案．

（Ⅰ）由題可得函數(shù)的定義域為，，

當時，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，令，解得；令，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）當時，，

則不等式可化為，

因為不等式恒成立，所以原問題可轉(zhuǎn)化為．

設(shè)，顯然函數(shù)的定義域為，，

令，則恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，所以當時，；當時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

故實數(shù)的取值范圍為．